2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第13讲 切点弦问题（解析版）

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第13 讲 切点弦问题
一、解答题
1．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，M是椭圆上的动点，
的最大面积为 1．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：过椭圆 上的一点 的切线方程为： ；
（3）设点 P是直线 上的一个动点，过 P做椭圆 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 是否
过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）直线 AB 过定点 .
【分析】
（1）当 M是椭圆的短轴端点时， 的面积最大，得到 ，再结合离心率及 ，可
求得椭圆方程；
（2）联立 ，得 (*) ，又点 在椭
圆上得 ，即可将方程变形为 ，即直线和椭圆仅有一个公共点，可证
得 为椭圆的公切线.
（3）设 ，切点 ， ，由切线方程可知 ， ，又 P在
切线上， ， ，可知直线 AB 的方程为： ，可得直线 AB 过定点
【详解】
（1）M是椭圆上的动点 ，
，即 时，
，即 ，又 ， ， ，
椭圆 Γ的方程为
（2）证明：联立 ，得 (*)
点 在椭圆上，
，即
， 得 ，故直线和椭圆仅有一个公共点，
为椭圆的公切线
（3）设 ，切点 ， ，由（2）的结论可知，
切线 的方程分别为 ，
在切线上， ，
都满足 ，即直线 AB 的方程为：
直线 AB 过定点 .
【点睛】
思路点睛：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中定点问题的
两种解法：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关
系，找到定点．
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
2．已知抛物线 C：y2＝4x和直线 l：x＝－1.
(1)若曲线 C上存在一点 Q，它到 l的距离与到坐标原点 O的距离相等，求 Q点的坐标；
(2)过直线 l上任一点 P作抛物线的两条切线，切点记为 A，B，求证：直线 AB 过定点.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）设 Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，又 y2＝4x，解得 Q；（2）设点(－1，t)的直线
方程为 y－t＝k(x＋1)，联立 y2＝4x，则 Δ＝0，得 k2＋kt－1＝0，则切点分别为 A，B，所
以A，B，F三点共线，AB 过点 F(1，0)。
试题解析：
(1)设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，即 y2＝2x＋1，
由 解得 Q.
(2)设过点(－1，t)的直线方程为 y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入 y2＝4x，得 ky2－4y＋4t＋4k＝0，
由Δ＝0，得 k2＋kt－1＝0，
特别地，当 t＝0时，k＝±1，切点为 A(1，2)，B(1，－2)，显然 AB 过定点 F(1，0).
一般地方程 k2＋kt－1＝0有两个根，
∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，
∴两切点分别为 A，B，
∴ ＝ ， ＝ ，
又－＝2＝0，
∴ 与 共线，又 与 有共同的起点 F，
∴A，B，F三点共线，∴AB 过点 F(1，0)，
综上，直线 AB 过定点 F(1，0).
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