2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第12讲 定点问题（原卷版）

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第12 讲 定点问题
一、解答题
1．设椭圆 经过点 ，且离心率等于 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆于 两点，且满足 ，试判断直线 是否过定点，
若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.
2．已知椭圆 的离心率为 ，M是椭圆 C的上顶点， ，F2 是椭圆 C的焦点，
的周长是 6．
（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；
（Ⅱ）过动点 P（1，t）作直线交椭圆 C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过 P作直线 l，使 l与直线 AB 垂直，
证明：直线 l恒过定点，并求此定点的坐标．
3．已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中
恰有三点在椭圆 C上.
（Ⅰ）求 C的方程；
（Ⅱ）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A，B两点.若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为–1，证明：l过
定点.
4．已知点 P是椭圆 C:上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
（1）求椭圆 C的标准方程;
（2）设直线 l不经过 P点且与椭圆 C相交于 A，B两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 1，问:直线 l是
否过定点?证明你的结论
5．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 A为椭圆的左顶点，点 B为上顶
点，|AB|＝ 且|AF1|+|AF2|＝4.
（1）求椭圆 C的方程；
（2）过点 F2作直线 l交椭圆 C于M、N两点，记 AM、AN 的斜率分别为 k1、k2，若 k1+k2＝3，求直线 l的
方程.
6．已知⊙M过点 ，且与⊙N： 内切，设⊙M的圆心 M的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C的方程：
（2）设直线 l不经过点 且与曲线 C相交于 P，Q两点．若直线 PB 与直线 QB 的斜率之积为 ，
判断直线 l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．
7．已知椭圆 C： ，直线 l：y＝kx+b 与椭圆 C相交于 A、B两点．
（1）如果 k+b＝﹣ ，求动直线 l所过的定点；
（2）记椭圆 C的上顶点为 D，如果∠ADB＝ ，证明动直线 l过定点 P（0，﹣ ）；
（3）如果 b＝﹣ ，点 B关于 y轴的对称点为 B，向直线 AB 是过定点？如果是，求出定点的坐标；如
果不是，请说明理由．
8．已知椭圆 C： ，若直线 l：y＝kx＋m与椭圆 C相交于 A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以
AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点．求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标．
9．已知点 为椭圆 C： 上一点，且直线 过椭圆 C的一个焦点．
（1）求椭圆 C的方程．
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