2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第11讲 阿基米德三角形问题（原卷版）

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第11 讲 阿基米德三角形问题
一、解答题
1．设定点 F(0，1)，动点 E满足：以 EF 为直径的圆与 x轴相切.
（1）求动点 E的轨迹 C的方程；
（2）设 A，B是曲线 C上的两点，若曲线 C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.
2．如图，已知抛物线 的焦点为 F过点 的直线交抛物线于 A，B两点，直
线AF，BF 分别与抛物线交于点 M，N ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）记直线 MN 的斜率为 ，直线 AB 的斜率为 证明： 为定值
3．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0），直线 l交C于A，B两点，且 A，B两点与原点不重合，点
M（1，2）为线段 AB 的中点．
（1）若直线 l的斜率为 1，求抛物线 C的方程；
（2）分别过 A，B两点作抛物线 C的切线，若两条切线交于点 S，证明点 S在一条定直线上．
4．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线 C的焦点．以 F为圆心，p为半径作圆，与抛物线 C在第
一象限交点的横坐标为 2．
（1）求抛物线 C的方程；
（2）直线 y＝kx+1 与抛物线 C交于 A，B两点，过 A，B分别作抛物线 C的切线 l1，l2，设切线 l1，l2的交
点为 P，求证：△PAB 为直角三角形．
5．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线分别交抛物线于 两点．
（1）若以 为直径的圆的方程为 ，求抛物线 的标准方程；
（2）过点 分别作抛物线的切线 ，证明： 的交点在定直线上．
6．已知动点 在 轴上方，且到定点 距离比到 轴的距离大 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，点 ， 分别异于原点 ，在曲线 的 ， 两
点处的切线分别为 ， ，且 与 交于点 ，求证： 在定直线上.
7．已知圆 C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线 E：y2＝2px(p＞0)，圆心 C到抛物线焦点 F的距离为 ．
（1）求抛物线 E的方程；
（2）不过原点的动直线 l交抛物线 E于A，B两点，且满足 OA⊥OB．
① 求证直线 l过定点；
②设点M为圆 C上任意一动点，求当动点 M到直线 l的距离最大时直线 l的方程．
8．已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上的两个动点，且 ，过 ，
两点分别作抛物线的切线，设其交点为 .
（1）若直线 与 ， 轴分别交于点 ， ，且 的面积为 ，求 的值；
（2）记 的面积为 ，求 的最小值，并指出 最小时对应的点 的坐标.
9．已知以动点 为圆心的 与直线 ： 相切，与定圆 ： 相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程 ；
（Ⅱ）过曲线 上位于 轴两侧的点 、 （ 不与 轴垂直）分别作直线 的垂线，垂足记为 、
，直线 交 轴于点 ，记 、 、 的面积分别为 、 、 ，且 ，
证明：直线 过定点.
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