2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第10讲 非对称韦达（解析版）

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第10 讲 非对称韦达
一、解答题
1．已知椭圆 E： 的离心率是 ， ， 分别为椭圆 E的左右顶点，B为上顶
点， 的面积为 直线 l过点 且与椭圆 E交于 P，Q两点．
求椭圆 E的标准方程；
求 面积的最大值；
设直线 与直线 交于点 N，证明：点 N在定直线上，并写出该直线方程．
【答案】（1） （2） （3）见证明
【分析】
根据离心率和三角形的面积即可求出 ， ，
分两种情况，当 PQ 斜率不存在时， ，当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为
， ，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、，函数的性质，结合已知条件能求出
的面积的最大值．
分两种情况，PQ 斜率不存在时，易知 ，当直线 PQ 的斜率存在时，直线 的方程为
，直线 的方程为 ，即可整理化简可得 ，解得即可．
【详解】
解：由题意知 ，
，即 ，
的面积为 2，
，
解得 ， ，
椭圆 C的标准方程为 ，
斜率不存在时，易知 ， ，此时 ，
当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为 ， ，
设 ， ，
将 代入 ，整理可得 ，
， ，
，
，
令 ， ，
，
故 面积的最大值
证明 斜率不存在时，易知 ，
当直线 PQ 的斜率存在时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
，
，
解得 ，即 N点的横坐标为 4，
综上所述，点 N在定直线 上．
【点睛】
本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求
解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题．
2．已知 A，B分别为椭圆 的左右顶点，E为椭圆 C的上顶点，F为椭圆 C的右
焦点，E与F关于直线 对称， 的面积为 ，过 的直线交椭圆 C于两点 M，N(异
于A，B两点).
（1）求椭圆 C的方程；
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