2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第9讲 蒙日圆问题（原卷版）
第9讲蒙日圆问题
一、解答题
1．已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若动点 为椭圆外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程.
2．给定椭圆 C： (a>b>0)，称圆心在原点 O，半径为 的圆为椭圆 C的“准圆”．若
椭圆 C的一个焦点为 F(，0)，其短轴上的一个端点到 F的距离为 .
（1）求椭圆 C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点 P是椭圆 C的“准圆”上的动点，过点 P作椭圆的切线 l1，l2交“准圆”于点 M，N.证明：
l1⊥l2，且线段 MN 的长为定值．
3．给定椭圆 C : ，称圆心在原点，半径为 的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.
若椭圆 C 的一个焦点为 F1( , 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为
（1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦
MN 的的长；
（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l1、l2，使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点，
判断 l1、l2的位置关系，并说明理由.
4．已知抛物线 ： （ ），圆 ： （ ），抛物线 上的点到其准
线的距离的最小值为 .
（1）求抛物线 的方程及其准线方程；
（2）如图，点 是抛物线 在第一象限内一点，过点 P作圆 的两条切线分别交抛物线 于点
A，B（A，B异于点 P），问是否存在圆 使 AB 恰为其切线？若存在，求出 r的值；若不存在，说明理由.
5．已知椭圆 ： 的长半轴长为 ，点 （ 为椭圆 的离心率）在椭圆
上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图， 为直线 上任一点，过点 椭圆 上点处的切线为 ， ，切点分别 ， ，直线
与直线 ， 分别交于 ， 两点，点 ， 的纵坐标分别为 ， ，求 的值.
6．已知中心在原点的椭圆 C1和抛物线 C2有相同的焦点(1，0)，椭圆 C1过点 ，抛物线 的顶点为
原点．
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