2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第8讲 角度问题（解析版）

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第8讲 角度问题
一、解答题
1．（本小题满分为 16 分）设 A，B分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆的长轴长为
，且点 在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设 为直线 上不同于点 的任意一点，若直线 与椭圆相交于异于 的点 ，证明：
△ 为钝角三角形．
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】试题分析：（1）求椭圆的方程一般利用待定系数法求解，本题两个独立条件可求出方程中两个
未知数，关键长轴长为 的条件不能列错，（2）证明△ 为钝角三角形，可利用向量数量积求证：
，这样只需列出各点坐标即可.
试题解析：（1）由题意： ，所以 ．所求椭圆方程为 ．
又点 在椭圆上，可得 ．所求椭圆方程为 ．
（2）证明：由（1）知： ．设 ， ．
则直线 的方程为： ．
由 得 ．
因为直线 与椭圆相交于异于 的点 ，
所以 ，所以 ．
由 ，得 ．所以 ．
从而 ， ．
所以 ．
又 三点不共线，所以 为钝角．
所以△ 为钝角三角形．
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
2．已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点， 与 的公共弦
的长为 .
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，且 与 同向
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率
（ⅱ）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，证明：直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形
【答案】（1） ；（2）（i） ，（ii）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件可求得 的焦点坐标为 ，再利用公共弦长为 即可求解；（2）
（i）设直线 的斜率为 ，则 的方程为 ，由 得 ，根据条件可知
，从而可以建立关于 的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明
，因此 是锐角，从而 是钝角，即可得证
试题解析：（1）由 ： 知其焦点 的坐标为 ，∵ 也是椭圆 的一焦点，
∴ ①，又 与 的公共弦的长为 ， 与 都关于 轴对称，且 的方程为 ，
由此易知 与 的公共点的坐标为 ，∴ ②，联立①，②，得 ， ，故
的方程为 ；（2）如图 ， ， ， ， ，
（i）∵ 与 同向，且 ，∴ ，从而 ，即 ，
于是 ③，设直线 的斜率为 ，则 的方程为 ，由
得 ，而 ， 是这个方程的两根，∴ ， ④，由
得 ，而 ， 是这个方程的两根，∴ ，
⑤，将④⑤带入③，得 ，即
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