2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第7讲 共线问题（解析版）

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第7讲 共线问题
一、解答题
1．已知椭圆 C的中心为坐标原点 O，焦点在 y轴上，离心率 ，椭圆上的点到焦点的最短距离为
, 直线 l与y轴交于点 P（0，m），与椭圆 C交于相异两点 A、B，且 .
（1）求椭圆方程；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）y21．
（2）（﹣1， ）∪（ ，1）．
【详解】
（1）由条件知 a﹣c＝1， ，
∴a＝1，b＝c，故 C的方程为：y21．
（2）设 l：y＝kx+m与椭圆 C交点为 A（x1，y1），B（x2，y2）
联立得（k2+2）x2+2kmx+（m21﹣）＝0
△＝（2km）24﹣（k2+2）（m21﹣）＝4（k22﹣m2+2）＞0 （*）
x1+x2，x1x2
∵3，
∴﹣x1＝3x2
∴x1+x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，
消去 x2，得 3（x1+x2）2+4x1x2＝0，
∴3（ ）2+4 0
整理得 4k2m2+2m2﹣k22﹣＝0
m2时，上式不成立；
m2时，k2，
因λ＝3，∴k≠0，∴k20，
∴1﹣＜m或m＜1
容易验证 k2＞2m22﹣成立，所以（*）成立
即所求 m的取值范围为（﹣1， ）∪（ ，1）．
2．已知椭圆 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 A作斜率为 的直线与 C相交
于A，B，且 ，O坐标原点.
（1）求椭圆的离心率 e；
（2）若 ，过点 F作与直线 平行的直线 l，l与椭圆 C相交于 P，Q两点.
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）点 M满足 ，直线 与椭圆的另一个交点为 N，求 的值.
【答案】（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
【分析】
（1）由几何关系可得 点坐标，代入椭圆方程即得 ，又 即得；
（2）（ⅰ）将直线 与椭圆联立即得 结果；
（ⅱ） 将其坐标化，利用 P，Q，N在椭圆上求得结果即可．
【详解】
（1）已知 ，
则 ，代入椭圆 C的方程： ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（2）（ⅰ）由（1）可得 ，∴
设直线 l：
∵ ，∴
联立直线 l与椭圆 C的方程：
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