2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第6讲 图形问题（解析版）

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第6讲 图形问题
一、解答题
1．已知椭圆 （ ），以椭圆内一点 为中点作弦 ，设线段 的中垂
线与椭圆相交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得 ， ， ， 在同一个圆上，并说明理由．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）存在这样的 ，使得 ， ， ， 在同一个圆上．
【解析】【试题分析】（1）借助递椭圆离心率的定义分析求解；（2）依据题设条件先建立直线的方程，
再与椭圆方程联立，借助交点坐标之间的关系分析求解：
（Ⅰ）将椭圆方程化成标准方程 ， ．
（Ⅱ）由题意，设 ， ， ， ，直线 的斜率存在，设
为 ，联立 ，
得 ．　
， ，此时由 ，得 ，
则 ： ， ： ．
则 得 ， ，故 的中点 为 ．
由弦长公式可得到 ．
，若存在圆，则圆心在 上，
的中点 到直线 的距离为 ．　
，
又
存在这样的 ，使得 ， ， ， 在同一个圆上．
2．已知 O为坐标原点，F为椭圆 C： 在 y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为 的直线 l与
C交于 A、B两点，点 P满足 ．
（Ⅰ）证明：点 P在C上；
（Ⅱ）设点 P关于点 O的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）要证明点 P在C上，即证明 P点的坐标满足椭圆 C的方程 ，根据已知中过 F且斜率为
的直线 l与C交于 A、B两点，点 P满足 ，我们求出点 P的坐标，代入验证即可．
（Ⅱ）若 A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标
代入验证即可．
【详解】
证明：（Ⅰ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）
椭圆 C： ①，则直线 AB 的方程为：y x+1 ②
联立方程可得 4x22﹣x1﹣＝0，
则x1+x2，x1×x2
则y1+y2（x1+x2）+2＝1
设P（p1，p2），
则有： （x1，y1）， （x2，y2）， （p1，p2）；
∴ （x1+x2，y1+y2）＝（ ，1）； （p1，p2）＝﹣（ ）
＝（ ，﹣1）
∴p的坐标为（ ，﹣1）代入①方程成立，所以点 P在C上．
（Ⅱ）设点 P关于点 O的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
设线段 AB 的中点坐标为（ ， ），即（ ， ），
则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为：y（x），即 y x ；③
∵P关于点 O的对称点为 Q，故 0（0.0）为线段 PQ 的中点，
则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为：y x④；
③④ 联立方程组，解之得：x，y
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