2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第5讲 四形面积问题（原卷版）

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第5讲 四形面积问题
一、解答题
1．已知椭圆 C：+ =1（a＞b＞0）的两个焦点分别为 F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为 ．过
焦点 F2的直线 l（斜率不为 0）与椭圆 C交于 A，B两点，线段 AB 的中点为 D，O为坐标原点，直线 OD
交椭圆于 M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）当四边形 MF1NF2为矩形时，求直线 l的方程．
2．设椭圆 的上焦点为 F，椭圆 E上任意动点到点 F的距离最大值为 ，最
小值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 E的标准方程；
（Ⅱ）过点 F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆 E交于 P，Q和M，N，求四边形 PMQN 的面积的最大
值．
3．设椭圆 （a＞b＞0）的焦点分别为 F1（﹣1，0）、F2（1，0），直线 l：x＝a2交x轴于点
A，且 ．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过 F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形
DMEN 面积的最大值和最小值．
4．设圆 的圆心为 A，直线 l过点 B（1,0）且与 x轴不重合，l交圆 A于C，D两点，
过B作AC 的平行线交 AD 于点 E.
（I）证明 为定值，并写出点 E的轨迹方程；
（II）设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交C1于M,N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点，求
四边形 MPNQ 面积的取值范围.
5．已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的坐标为 ， 的
面积为 .
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在 轴上，
，且直线 与直线 间的距离为 ，四边形 的面积为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
6．已知点 在椭圆 :（ ）上，且点 到左焦点 的距离为 3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 关于坐标原点 的对称点为 ，又 ､两点在椭圆 上，且 ，求凸四边形
面积的最大值.
7．如图，已知椭圆 C： 的短轴端点分别为 B1，B2，点 M是椭圆 C上的动点，且不与 B1，B2重
合，点 N满足 NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.
（1）求动点 N的轨迹方程；
（2）求四边形 MB2NB1面积的最大值．
8．设椭圆 的离心率 ，椭圆上的点到左焦点 的距离的最大值为 3.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求椭圆 的外切矩形 的面积 的取值范围.
9．已知椭圆 ，过点 作互相垂直的两条直线分别交椭圆 于点 （ 与 不重
合）.
（1）证明：直线 过定点 ；
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