2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第4讲 三角形面积问题（解析版）

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第4讲 三角形面积问题
一、解答题
1．已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ， ，
且,为椭圆上异于 ， 的点， 和 的斜率之积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆中心， ， 是椭圆上异于顶点的两个动点，求 面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：第（1）问首先由 得到椭圆左、右顶点的坐标，再由 和 的斜率之积为 求
出几何量 的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出 的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计
算点到直线的距离，再讨论 的面积最值．
试题解析：（1）由 ，得 ，所以 ， ．
设 ，则， 解得 ．
于是椭圆 的标准方程为 ．
（2）①当直线 垂直于 轴时，设 的方程为 ，
由 ，得 ， ，
从而 ，
当 时， 的面积取得最大值 ．
② 当直线线 与 轴不垂直时，设 的方程为 ，
由 消去 ，得 ．
，化简得 ．
设 ， ，则 ， ，
，
原点 到直线 的距离 ，
所以 ．
当且仅当 时， 取得最大值 ．
综合①②知， 的面积取得最大值 ．
考点：椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，三角形面积．
2．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过椭圆 的左焦点和上顶点的直线与圆
相切.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 与原点 关于直线 对称，试求四边形
的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）2
【分析】
（1）由题得：过椭圆 的左焦点和上顶点的直线方程为 ，又由该直线与圆相切得到：
，联立 ，解方程组即得；
（2）由题得直线 的斜率 一定存在，可设直线 ，代入椭圆方程，消元化简得：
，由弦长公式求得 ，再求出点 到直线 的距
离 ，算出 ，最后求出四边形 的面积的最大值.
【详解】
（1）过椭圆 的左焦点和上顶点的直线方程为 ，即 ，
又该直线与圆 相切， ，又离心率 ， ，
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