2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第3讲 长度问题（原卷版）

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第3讲 长度问题
一．解答题（共 19 小题）
1．已知椭圆 ，与 轴不重合的直线 经过左焦点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点，弦
的中点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点．
（1）若直线 的斜率为 1，求直线 的斜率；
（2）是否存在直线 ，使得 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理
由．
2．已知椭圆 的离心率为 ，经过左焦点 的直线 与椭圆 相交于 ，
两点，与 轴相交于 点，且点 在线段 上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，求直线 的方程．
3．已知直线 经过椭圆 的右焦点 ，交椭圆 于点 ， ，点 为椭圆 的左
焦点， 的周长为 8．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 与直线 的倾斜角互补，且交椭圆 于点 、 ， ，求证：直线 与直线
的交点 在定直线上．
4．已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ，
，上、下顶点分别为 、 ，四边形 的面积为 4，四边形 的面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若点 ， 为椭圆 上的两个动点， 的面积为 1．证明：存在定点 ，使得
为定值．
5．已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点
为 ，若 ， ， 成等比数列，椭圆 上的点到焦点 的距离的最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦 与 ，求 的取值范围．
6．已知椭圆 的中心在原点，左焦点 、右焦点 都在 轴上，点 是椭圆 上的动点，△ 的面
积的最大值为 ，在 轴上方使 成立的点 只有一个．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的两直线 ， 分别与椭圆 交于点 ， 和点 ， ，且 ，比较
与 的大小．
7．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ．过 且垂直于 轴的直线 交椭圆
于 、 两点，若
（1）求椭圆 的方程；
（2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，且分别交直线 和直线 于 、 两点，试求 的
值
8．已知椭圆 ， 为其右焦点，过 垂直于 轴的直线与椭圆相交所得的弦
长为 1．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，以线段 ， 为邻边作平行四边
形 ，其中顶点 在椭圆 上， 为坐标原点，求 的取值范围．
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