2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第3讲长度问题（解析版）

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第3讲长度问题

一．解答题（共 19 小题）

1．已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦

的中点为，直线与椭圆相交于，两点．

（1）若直线的斜率为 1，求直线的斜率；

（2）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理

由．

【解答】解：（1）由已知可知，又直线的斜率为 1，所以直线的方程为，

设，，，，

由解得或，

所以中点，

于是直线的斜率为．

（2）假设存在直线，使得成立．

当直线的斜率不存在时，的中点，

所以，，矛盾；

故直线的斜率存在，可设直线的方程为，

联立椭圆的方程，得，

设，，，，则，，

于是，

点的坐标为，

．

直线的方程为，联立椭圆的方程，得，

设，，则，

由题知，，

即，

化简，得，故，

所以直线的方程为，．

2．已知椭圆的离心率为，经过左焦点的直线与椭圆相交于，

两点，与轴相交于点，且点在线段上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为，

由已知可得，且，

所以，即有，

则椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，可设直线，

由消，并化简整理得，

由题意可知△ ，设，，，，

则，

因为点，都在线段上，且，

所以，即，，，

所以，即，

所以，

解得，即．

所以直线的方程为或．

3．已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左

焦点，的周长为 8．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：直线与直线

的交点在定直线上．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，，，

椭圆的标准方程．

（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直

线的斜率存在．

令，，，，，，，，，，．

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