2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第2讲 点差法（解析版）

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第2讲 点差法
一．解答题（共 9小题）
1．过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线的方程．
【解答】解：设直线与椭圆的交点为 ， 、 ，
为 的中点
，
又 、 两点在椭圆上，则 ，
两式相减得
于是
，即 ，
故所求直线的方程为 ，即 ．
2．已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点横坐标为 ，求此椭圆的
方程．
【解答】解：椭圆被直线 截得的弦的中点横坐标为 ，
可得宗坐标为 ，可得中点 ．
设椭圆标准方程为： ．
设直线 与椭圆相交于点 ， ， ， ．
则 ， ，相减可得： ，
又 ， ， ，
，又 ，
联立解得 ， ．
椭圆的标准方程为： ．
3．已知曲线 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，曲线 上总有不同两点
关于该直线对称．
【解答】解：设椭圆上关于直线 对称的点 ， ， ， ，
则根据对称性可知线段 被直线 垂直平分．
可得直线 的斜率 ，
直线 与椭圆有两个交点，且 的中点 ， 在直线 ，
故可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，
整理可得
， ，
△，
，
， ，代入 ，
，
，
的范围就是 ， ．
4．已知椭圆 过点 ， ，且与椭圆 有相同的焦点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 上存在 、 两点关于直线 对称，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆 ，可得 ，可得焦点 ．
设椭圆 的标准方程为 ，
则 ，解得 ， ．
椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为： ， ， ， ， ，线段 的中点 ， ．
联立 ，化为： ．
△，化为： ．
， ．
， ．
，
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