2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第1讲 轨迹问题（解析版）

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第1讲 轨迹问题
一．选择题（共 12 小题）
1．方程 所表示的曲线是 　　
A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆
【解答】解：将方程 化简，
得 ，其中 ， ．
因此方程 表示以 为圆心，半径 的圆．
故选： ．
2．方程 表示的曲线为 　　
A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆
【解答】解：两边平方整理得： ，
化简得 ，
由 得 ，即 或 ，
当 时，方程为 ，
表示圆心为 且半径为 1的圆的右半圆；
当 时，方程为 ，
表示圆心为 且半径为 1的圆的左半圆
综上所述，得方程 表示的曲线为两个半圆
故选： ．
3．在数学中有这样形状的曲线： ．关于这种曲线，有以下结论：
①曲线 恰好经过 9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 上任意两点之间的距离都不超过 2；
③曲线 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 5．
其中正确的结论有 　　
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【解答】解：①曲线 经过的整点有 ， ， ， ， ， ， ， ，
，恰有 9个点，即①正确；
②点 和 均在曲线 上，而这两点间的距离为 ，即②错误；
③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．
此时有， ，整理得， ，是以 为圆心， 为半径的圆，
作出曲线在第一象限的图形如图所示，
面积 ，
故曲线 的面积为 ，即③正确．
故选： ．
4．双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系
中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线 、已知点 ， 是双
纽线 上一点，下列说法中正确的有 　　
①双纽线经过原点 ；　②双纽线 关于原点 中心对称；③；④双纽线 上满足
的点 有两个．
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
【解答】解；根据双纽线 的定义可得， ，
将 ， 代入，符合方程，所以①正确；
用 替换方程中的 ，原方程不变，所以双纽线 关于原点 中心对称，②正确；
根据三角形的等面积法可知， ，即 ，
亦即 ，③正确；
若双纽线 上点 满足 ，则点 在 轴上，即 ，代入方程，
解得 ，所以这样的点 只有一个，④错误．
故选： ．
5．双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系
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