-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题25 解三角形的综合应用

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专题 25 解三角形的综合应用

【考点总结】

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图②)．

3．方向角

相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

4．坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

常用结论

测量中的几种常见问题

求AB 图形需要测量的元素解法

求竖

直高

度

底部可达 ∠ACB＝α

BC＝a

解直角三角形 AB＝atan

底部不可

达

∠ACB＝α

∠ADB＝β

CD＝a

解两个直角三角形 AB＝

求水

平距

离

山两侧

∠ACB＝α

AC＝b

BC＝a

用余弦定理 AB＝

河两岸

∠ACB＝α

∠ABC＝β

CB＝a

用正弦定理

AB＝

河对岸

∠ADC＝α

∠BDC＝β

∠BCD＝δ

∠ACD＝γ

CD＝a

在△ADC 中，

AC＝

在△BDC 中，

BC＝

在△ABC 中，应用余弦定

理求 AB

【易错总结】

(1)方向角与方位角概念不清；

(2)仰角、俯角概念不清；

(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．

例1.如图所示，已知两座灯塔 A和B与海洋观察站 C的距离都等于 a km，灯塔 A在观察站 C的北偏东 20°

的方向上，灯塔 B在观察站 C的南偏东 40°的方向上，则灯塔 A相对于灯塔 B的方向为(　　)

A．北偏西 5° B．北偏西 10°

C．北偏西 15° D．北偏西 20°

解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西 40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔 A相对于灯

塔B的方向为北偏西 10°.

例2．在某次测量中，在 A处测得同一半平面方向的 B点的仰角是 60°，C点的俯角为 70°，则∠BAC＝___

_____

答案：130°

例3．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的

俯角分别为 45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成 30°角，则两条船相距________m.

解析：由题意画示意图，如图，

OM＝AOtan 45°＝30(m)，

ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，

在△MON 中，由余弦定理得，

MN＝＝＝10(m)．

答案：10

【考点解析】

【考点】一、求距离、高度问题

例1、(1)(2020·福建宁德 5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘

密的最后遗产”，我国拥有世界上

已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点 C，D，

测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．

(2)(2020·吉林长春质量监测(四))

《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立

两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，

与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：

如图所示，立两个三丈高的标杆 BC 和DE，两标杆之间的距离 BD＝1 000 步，两标杆的底端与海岛的底端

H在同一直线上，从前面的标杆 B处后退 123 步，人眼贴地面，从地上 F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，

从后面的标杆 D处后退 127 步，人眼贴地面，从地上 G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为

______步．(注：1步＝6尺，1里＝180 丈＝1 800 尺＝300 步)

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