-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题25 解三角形的综合应用(提升训练)(解析版)

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专题 25 解三角形的综合应用

一、选择题

1．两座灯塔 A和B与海岸观察站 C的距离相等，灯塔 A在观察站南偏西 40°，灯塔 B在观察站南偏东 60°，

则灯塔 A在灯塔 B的(　D　)

A．北偏东 10°　　　 B．北偏西 10°

C．南偏东 80°　　　 D．南偏西 80°

[解析]　由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，CA＝CB，所以∠CAB＝∠CBA＝40°，又因为∠BCD＝6

0°，所以∠CBD＝30°，∠DBA＝10°，故灯塔 A在B的南偏西 80°．

2．如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点 C(△ABC

的角 A，B，C所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量 A，C，b；②测量 a，b，C；

③测量 A，B，a则一定能确定 A，B间的距离的所有方案的序号为(　D　)

A．①②　　　 B．②③

C．①③　　　 D．①②③

[解析]　由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出 AB

．

故

选D．

3．如果 D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从 D，C两地测得 A点的仰角分别为 30°和45°，则 A

点离地面的高 AB 等于(　D　)

A．10 m　　　 B．5 m

C．5(－1)m　　　 D．5(＋1)m

[解析]　－＝10，解得 AB＝5(＋1)．故选 D．

4．如图所示，设 A，B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的

距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A，B两点的距离为(　A　)

A．50 m　　　 B．50 m

C．25 m　　　 D． m

[解析]　由题意，得 B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50 (m)．故选 A．

5．海面上有 A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从 A望C和B成60°视角，从 B望C和A成75°视角，则

BC＝(　D　)

A．10 n mile　　　 B． n mile

C．5 n mile　　　 D．5 n mile

[解析]　由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以 BC＝5.故选

D．

6．一架直升飞机在 200 m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是 30°和60°，则塔高为(　A　)

A． m　　　 B． m

C． m　　　 D． m

[解析]　如图所示．

在Rt△ACD 中可得 CD＝＝BE，

在△ABE 中，由正弦定理得＝⇒AB＝，所以 DE＝BC＝200－＝(m)．

7．如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以测量与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C与D，测得∠BCD

＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C测得塔顶 A的仰角为 60°，则塔高 AB＝(　D　)

A．5　　　 B．15

C．5　　　 D．15

[解析]　在△BCD 中，∠CBD＝180°－45°＝135°．

由正弦定理得＝，所以 BC＝15．

在Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选 D．

8．如图，某游轮在 A处看灯塔 B在A的北偏东 75°方向上，距离为 12 n mile，灯塔 C在A的北偏西 30

°方向上，距离为 8 n mile，游轮由 A处向正北方向航行到 D处时再看灯塔 B，B在南偏东 60°方向上，则 C

与D的距离为(　B　)

A．20 n mile　　　 B．8 n mile

C．23 n mile　　　 D．24 n mile

[解析]　在△ABD 中，因为灯塔 B在A的北偏东 75°方向上，距离为 12 n mile，货轮由 A处向正北方向

航行到 D处时，再看灯塔 B，B在南偏东 60°方向上，所以 B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，

可得 AD＝＝＝24 n mile．

在△ACD 中，AD＝24 n mile，AC＝8 n mile，

∠CAD＝30°，

CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD

＝242＋(8)2－2×24×8×cos30°

＝(8)2，

∴CD＝8，故选 B．

二、填空题

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