-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题24 正弦定理和余弦定理(提升训练)(解析版)

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专题 24 正弦定理和余弦定理

基础对点练(时间：30 分钟)

1．在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，S表示△ABC 的面积，若 acos B＋bcos A＝csin C，

S＝(b2＋c2－a2)，则 B等于(　　)

(A)90° (B)60°

C　解析：由正弦定理得 sin Acos B＋sin Bcos A＝sin C·sin C，即 sin(B＋A)＝sin2C，所以 sin C＝1，C

＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得 S＝bcsin A，b2＋c2－a2＝2bccos A，代入已知得 bcsin A＝·2bccos A，

所以 tan A＝1，A＝45°，因此 B＝45°.故选 C.

2．△ABC 中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于(　　)

(A) (B)

B　解析：设AB＝a，则由 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B知7＝a2＋4－2a，即 a2－2a－3＝0，∴a＝3

(负值舍去)．∴BC 边上的高为 AB·sin B＝3×＝.故选 B.

3．(2019 烟台一中)△ABC 中，若 sin C＝(cos A＋sin A)cos B，则(　　)

(A)B＝

(B)2b＝a＋c

(C)△ABC 是直角三角形

(D)a2＝b2＋c2或2B＝A＋C

D　解析：∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

∴cos Asin B＝cos Acos B

∴sin B＝cos B或cos A＝0

即B＝或 A＝，故选 D.

4．在△ABC 中，三边之比 a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝(　　)

(A)1 (B)2

(C)－2 (D)

B　解析：不妨设 a＝2，b＝3，c＝4，

故cos C＝＝－，

故＝＝＝2，故选 B.

5．在△ABC 中，内角 A，B，C，的对边分别为 a，b，c，a2＝(b－c)2＋12，A＝，则△ABC 的面积为(　　)

(A) (B)

C　解析：∵a2＝(b－c)2＋12＝b2＋c2－2bc＋12，

a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴2bc(1－cos A)＝12，∴bc＝4.

∴△ABC 的面积 S△ABC＝bcsin A

＝×4×＝，故选 C.

6．(2019 河南六市一联)在锐角△ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别为 a，b，c，若 sin A＝，a＝2，S△AB

C＝，则 b的值为(　　)

(A) (B)

A　解析：由三角形面积公式可得

S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，

解得 bc＝3.因为 A为锐角，sin A＝，所以 cos A＝，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据得 b

2＋c2＝6，则(b＋c)2＝12，b＋c＝2，所以 b＝c＝，故选 A.

7．(2019 山西大学附中月考)在锐角△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若＋＝6cos C，则＋的

值是________．

解析：因为＋＝6cos C，

所以＝6×，

整理得 b2＋a2＝c2，

则＋＝·(＋)

＝·＝·

＝＝＝＝4.

答案：4

8．在△ABC 中，B＝60°，AC＝，则△ABC 周长的最大值为________．

解析：在△ABC 中，设 a，b，c分别是△ABC 的三个角 A，B，C的对边．由余弦定理得()2＝a2＋c2－2ac

cos 60°＝a2＋c2－ac≥(a＋c)2－32，则(a＋c)2≤3，解得 a＋c≤2，故△ABC 周长的最大值为 3.

答案：3

9．设△ABC 的三个内角 A，B，C成等差数列，且(BA＋BC)·AC＝0，则△ABC 的形状是__________．

解析：由题得 2B＝A＋C,3B＝π得B＝，

设AC 中点 D，则(BA＋BC)·AC＝2BD·AC＝0，

即BD⊥AC得 a＝c.

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