-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题23 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

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专题 23 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

【考点总结】

1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)

(A>0，ω>0)

振幅周期频率相位初相

AT＝f＝＝ ωx＋φφ

2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

ωx＋φ0 π 2π

x－－－

y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0

3.由函数 y＝sin x的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

【常用结论】

1．两种图象变换的区别

由y＝sin x的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变

换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．即

图象的左右平移变换是针对 x而言的，应是 x本身加减多少，而不是 ωx 加减多少．

2．周期与对称性之间的关系

(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴

之间的距离是周期；

(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是周期．

3．对称轴(对称中心)与函数值的关系

在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设 y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，

x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0，0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.

【易错总结】

(1)搞错图象平移的单位长度；

(2)搞错横坐标伸缩与 ω的关系；

(3)搞不清 f(x)在x＝处取最值；

(4)确定不了解析式中 φ的值．

例1．将函数 y＝2sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin

C．y＝2sin D．y＝2sin

解析：选D.函数 y＝2sin 的周期为 π，将函数 y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期即个单位长度，所得

函数为 y＝2sin＝2sin，

故选 D.

例2．函数 y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍得到的图象对应的函数解析式

是________．

解析：根据函数图象变换法则可得．

答案：y＝sinx

例3．若函数 f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 ω＝________．

解析：由题意知当 x＝时，函数取得最大值，所以有 sin ＝1，所以＝＋2kπ(k∈Z)，所以 ω＝＋6k(k∈

Z)，又0<ω<2，所以 ω＝.

答案：

例4．已知简谐运动 f(x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相 φ为________．

解析：将点(0，1)代入函数表达式可得 2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以 φ＝.

答案：

【考点解析】

【考点】一、函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例1、已知函数 y＝2sin.

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明 y＝2sin 的图象可由 y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

【解】　(1)y＝2sin 的振幅 A＝2，

周期 T＝＝π，初相 φ＝.

(2)令X＝2x＋，则y＝2sin(2x＋)＝2sin X.

列表如下：

x－

X0 π 2π

y＝sin X0 1 0 －10

y＝2sin 0 2 0 －20

描点画出图象，如图所示：

(3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到 y＝sin 的图象；

再把 y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 的图象；最后把 y＝si

n上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)，即可得到 y＝2sin 的图象．

法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 2x的图象；

再将 y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到 y＝sin＝sin 的图象；

再将 y＝sin 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2倍(横坐标不变)，即得到 y＝2sin(2x＋)的图象．

(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换 z＝ωx＋φ计算五点坐标．

(2)由y＝sin ωx 到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非 φ个单位长度．

(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正

值．　

【变式】1．函数 y＝sin(2x＋)的图象可以由函数 y＝cos 2x的图象　(　　)

A．向右平移个单位长度得到

B．向右平移个单位长度得到

C．向左平移个单位长度得到

D．向左平移个单位长度得到

解析：选A.将函数 y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数 y＝sin 2x的图象，再将 y＝sin 2x

的图象向左平移个单位长度，可得函数 y＝sin(2x＋)的图象，综上可得，函数 y＝sin(2x＋)的图象可以由函

数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到，故选 A.

【变式】2．将函数 y＝cos x－sin x的图象先向右平移 φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐

标变为原来的 a倍，得到 y＝cos 2x＋sin 2x的图象，则 φ，a的可能取值为(　　)

A．φ＝，a＝2　　　　　 B．φ＝，a＝2

C．φ＝，a＝ D．φ＝，a＝

解析：选D.将函数 y＝cos x－sin x＝cos(x＋)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度，可得 y＝cos(x＋－φ)

的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的 a倍，得到 y＝cos(x＋－φ)的图象，又y＝cos(x＋－φ)

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