-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题22 三角函数的图象与性质

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专题 22 三角函数的图象与性质

【考点总结】

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．

在余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 RR{x|x∈R，且 x≠kπ

＋，k∈Z}

值域 [－1，1] [－1，1] R

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调性

在[－＋2kπ，＋2kπ]

(k∈Z)上是递增函

数，在

[＋2kπ，＋2kπ](k∈

Z)上是递减函数

在[2kπ－π，2kπ](k∈

Z)上是递增函数，在

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

上是递减函数

在(－＋kπ，＋kπ)(k

∈Z)上是递增函数

周期性

周期是 2kπ(k∈Z且k

≠0)，最小正周期是

2π

周期是 2kπ(k∈Z且k

≠0)，最小正周期是

2π

周期是 kπ(k∈Z且k

≠0)，最小正周期是

对称性

对称轴是 x＝＋kπ(k

∈Z)，对称中心是(k

π，0)(k∈Z)

对称轴是 x＝kπ(k∈

Z)，对称中心是(kπ

＋，0)(k∈Z)

对称中心是(，0)(k∈

【常用结论】

1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期 T＝，函数 y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝.

2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴

之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．

3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或y＝Atan ωx 的形式，偶函数一般可化为 y＝Acos ωx＋b的形

式．

【易错总结】

(1)忽视 y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；

(2)忽视定义域的限制；

(3)忽视正切函数的周期；

(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错．

例1．函数 y＝1－2cos x的单调递减区间为________．

解析：函数 y＝1－2cos x的单调递减区间为函数 y＝cos x的递增区间．

答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)

例2．函数 f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为________．

解析：当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，

所以 sin [∈－，1]，

故3sin [∈－，3]，

所以函数 f(x)在区间[0，]上的值域是[－，3]．

答案：[－，3]

例3．函数 y＝tan 图象的对称中心是________．

解析：由x＋＝π，得x＝π－，k∈Z.

答案：(k∈Z)

例4．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．

解析：sin 68°＝cos 22°，

又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，

所以 sin 68°>cos 23°>cos 97°.

答案：sin 68°>cos 23°>cos 97°

【考点】一、三角函数的定义域

例1．函数 f(x)＝－2tan 的定义域是(　　)

解析：选D.由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)．

例2．函数 y＝lg sin x＋的定义域为________．

解析：要使函数有意义，则有

即

解得(k∈Z)，

所以 2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.

所以函数 y的定义域为.

答案：

例3．(一题多解)函数 y＝的定义域为________．

解析：法一：要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝si

n x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0，2π]内，满足 sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以原函数的定义域

为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

法三：sin x－cos x＝sin(x－)≥0，

将x－视为一个整体，由正弦函数 y＝sin x的图象和性质可知 2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，

解得 2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

答案：{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

【考点】二、三角函数的值域

例1、(1)已知函数 f(x)＝cos xsin 2x，则函数 f(x)的最大值为________．

(2)已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x，求 f(x)在区间上的最大值和最小值．

【解】　(1)(换元法)因为 y＝f(x)＝cos xsin 2x＝2cos2 xsin x＝2(1－sin2x)·sin x＝2(sin x－sin3 x)，

令t＝sin x，则y＝g(t)＝2(t－t3)，－1≤t≤1.

令g′(t)＝2(1－3t2)＝0，得t＝±.

当t∈时，g′(t)<0，

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