-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题22 三角函数的图象与性质(基础训练)(解析版)

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专题 22 三角函数的图象与性质

[基础题组练]

1．函数 y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)

A．[－，]　　　　　 B．[0，π]

C．[π，] D．[，2π]

解析：选D.将y＝cos x的图象位于 x轴下方的图象关于 x轴对称翻折到 x轴上方，x轴上方(或x轴上)

的图象不变，即得 y＝|cos x|的图象(如图)．故选 D.

2．设函数 f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线 x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为 x＝

D．f(x)在上单调递减

解析：选D.函数 f(x)＝cos 的图象可由 y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递

减后递增，D选项错误．

3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足 f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数 f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝cos 2x　　　　 B．f(x)＝tan x

C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x

解析：选D.由题意得所求函数的周期为 π，且图象关于 x＝对称．

A．f(x)＝cos 2x的周期为 π，而f＝0不是函数的最值．

所以其图象不关于 x＝对称．

B．f(x)＝tan x的周期为 π，但图象不关于 x＝对称．

C．f(x)＝sin x的周期为 2π，不合题意．

D．f(x)＝sin 2x的周期为 π，且f＝1为函数最大值，

所以 D满足条件，故选 D.

4．(2020·河南六市联考)已知函数 f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数 g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相

同，则 φ为(　　)

A. B．－

C. D．－

解析：选D.因为函数 f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数 g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，

所以 ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，

即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，

因为|φ|<，所以 φ＝－，选D.

5．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数 f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当 x＝时取最大值，当

x＝－时取最小值，则 φ的值可能为(　　)

A. B．

C. D．

解析：选C.T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以 φ＝2kπ＋，k∈Z，所以 φ的值可能

为.故答案为 C.

6．函数 f(x)＝sin 的单调递减区间为________．

解析：由已知可得函数为 f(x)＝－sin，欲求函数 f(x)的单调递减区间，只需求 y＝sin 的单调递增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

故所求函数 f(x)的单调递减区间为

(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

7．已知函数 f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为 x＝π，其中 ω为常数，且 ω∈(1，2)，则函

数f(x)的最小正周期为________．

解析：由函数 f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为 x＝π，可得 ωπ－＝kπ＋，k∈Z，

所以 ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以 ω＝，从而得函数 f(x)的最小正周期为＝.

答案：

8．已知函数 f(x)＝2sin 的图象的一个对称中心为，其中 ω为常数，且 ω∈(1，3)．若对任意的实数 x，总有

f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．

解析：因为函数 f(x)＝2sin 的图象的一个对称中心为，所以 ω＋＝kπ，k∈Z，所以 ω＝3k－1，k∈Z，

由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.

答案：

9．已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，求函数 f(x)的最大值和最小值．

解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.

(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)因为 x∈，

所以≤2x＋≤，

所以－1≤sin≤ ，

所以－≤f(x)≤1，所以当 x∈时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－.

10．已知函数 f(x)＝4sin(x－)cos x＋.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若函数 g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)

的值．

解：(1)f(x)＝4sin(x－)cos x＋＝4(sin x－cos x)cos x＋＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x

－)．

所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)函数 g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点 x1，x2，即函数 y＝f(x)与y＝m在[0，]上的图象有两

个不同的交点，在直角坐标系中画出函数 y＝f(x)＝2sin(2x－)在[0，]上的图象，如图所示，

由图象可知，当且仅当 m∈[，2)时，方程 f(x)＝m有两个不同的解 x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，

故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan ＝－.

[综合题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数；

②f(x)在区间单调递增；

③f(x)在[－π，π]有4个零点；

④f(x)的最大值为 2.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①②④ B．②④

C．①④ D．①③

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