-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题21 简单的三角恒等变换

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专题 21 简单的三角恒等变换
【考点】一、三角函数式的化简
例1、(1)化简：＝________；
(2)(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________．
【解析】　(1)原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
(2)法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝
＋
－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝.
法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝.
法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)·(cos2β－sin2β)
＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β)
＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)]
＝(sin2α＋cos2α)＝.
【答案】　(1)cos 2x　(2)
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角
降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．　
【变式】1．化简：＝________．
解析：＝
＝＝4sin α.
答案：4sin α
【变式】2．化简：＝________(其中 0<α<π)．
解析：原式＝
＝＝，
因为 0<α<π，所以 0<<，
故cos >0，
所以原式＝cos α.
答案：cos α
【考点】二、三角函数的求值
角度一　给角求值
例1、[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________．
【解析】　原式＝
·
＝·cos 10°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
【答案】　
该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，
或者能够约分相消，最后得到具体的值．　
角度二　给值求值
例2、(一题多解)已知 cos＝，若 π<x<π，则的值为________．
【解析】　法一：由π<x<π，得π<x＋<2π.
又cos＝，所以 sin＝－，
所以 cos x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－，
从而 sin x＝－，tan x＝7.
则＝＝
＝－.
法二：由法一得 tan＝－.
又sin 2x＝－cos＝－cos 2
＝－2cos2＋1＝－＋1＝.
则＝
＝＝＝
sin 2x·＝sin 2x·tan(x＋)＝×(－)＝－.
【答案】　－
给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是
通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．　
角度三　给值求角
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