-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题21 简单的三角恒等变换(基础训练)(解析版)

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专题 21 简单的三角恒等变换
[基础题组练]
1．若 tan(α＋80°)＝4sin 420°，则 tan(α＋20°)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B．
C. D．
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选 D.
2．(2020·河南天一大联考阶段性测试(五))已知 sin＝，则 sin 4x的值为(　　)
A. B．±
C. D．±
解析：选A.因为 sin＝(cos 2x－sin 2x)＝，
所以 sin 2x－cos 2x＝－，
所以(sin 2x－cos 2x)2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝，所以 sin 4x＝，故选 A.
3．(2020·江西九江二模)若sin＝2cos αsin ，则＝(　　)
A. B．
C．2 D．4
解析：选B.因为 sin＝2cos αsin ，
所以 sin αcos －cos αsin ＝2cos αsin ，
所以 sin αcos ＝3cos αsin .
所以 tan α＝3 tan ，
所以＝
＝＝＝＝.
故选 B.
4．(2020·福建龙岩教学质量检查)若α∈，且 3sin α＋2cos α＝2，则 tan 等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D.3sin α＋2cos α
＝
＝＝2，
所以 3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，解得 tan＝0或，又α∈(0，π)，所以 tan ≠0，所以 tan ＝，故选 D.
5．(2020·湖北八校联考)已知 3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则 θ＝(　　)
A.或　　　　　　 B．或
C.或 D．或
解析：选D.因为 3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以 cos ≥0，sin ≤0，则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，所以
cos＝，
所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为 3π≤θ≤4π，所以 θ＝
或，故选 D.
6.的值为________．
解析：原式＝＝＝.
答案：
7．(2020·平顶山模拟)已知 sin α＝－，若＝2，则 tan(α＋β)＝________．
解析：因为 sin α＝－，α∈，所以 cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α
＋β)，所以 tan(α＋β)＝.
答案：
8．设 α是第四象限角，若＝，则 tan 2α＝________．
解析：＝＝
＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得 cos2α＝.
因为 α是第四象限角，所以 cos α＝，sin α＝－，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以 tan 2α＝－.
答案：－
9．已知 tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求 tan(α＋β)的值，并求出 α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
所以 tan(α＋β)＝
＝＝1.
因为 α∈，β∈，
所以<α＋β<，
所以 α＋β＝.
10．已知函数 f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论 f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以 f(x)的最小正周期 T＝＝π.
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