-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(基础训练)(解析版)

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专题 20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[基础题组练]

1．(2020·广东揭阳一模)若sin＝，则 sin4α－cos4α的值为(　　)

A.　　　　　　　　 B．

C．－ D．－

解析：选D.因为 sin＝，所以 cos 2α＝，因此 sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝1－2cos2α＝－

cos 2α＝－，选D.

2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知 sin(α＋2β)＝，cos β＝，α，β为锐角，则 sin(α＋β)的值为(　　)

A. B．

C. D．

解析：选D.因为 cos β＝，0<β<，所以 sin β＝，cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝－<0，

所以<2β<π.

因为 sin(α＋2β)＝，α为锐角，所以<α＋2β<π，

所以 cos(α＋2β)＝－，

所以 sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]

＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β

＝×－×＝.故选 D.

3．已知 tan＝，且－<α<0，则＝(　　)

A．－ B．－

C．－ D．

解析：选A.因为 tan＝＝，所以 tan α＝－，因为 tan α＝，sin2α＋cos2α＝1，α∈，所以 sin α＝－.

所以＝＝

＝2sin α＝2×＝－.故选 A.

4．已知 cos＝，则 cos x＋cos＝(　　)

A. B．－

C. D．±

解析：选A.因为 cos＝，

所以 cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x

＝＝cos ＝×＝.

故选 A.

5.的值是(　　)

A. B．

C. D．

解析：选C.原式＝

＝

＝＝.

6．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．

解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°

＝＝＝.

答案：

7．(2020·益阳模拟)已知 cos＋sin α＝，则 sin＝________．

解析：由cos＋sin α＝，

可得 cos α＋sin α＋sin α＝，

即sin α＋cos α＝，

所以 sin＝，

即sin＝，

所以 sin＝－sin＝－.

答案：－

8．已知 tan α＝，tan＝，则 m＝________．

解析：由题意，tan α＝，tan＝＝，则＝，所以 m＝－6或1.

答案：－6或1

9．已知角 α的顶点与原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边过点 P.

(1)求sin 的值；

(2)若角 β满足 sin(α＋β)＝，求 cos β的值．

解：(1)由角 α的终边过点 P得sin α＝－，

所以 sin(α＋π)＝－sin α＝.

(2)由角 α的终边过点 P得cos α＝－，

由sin(α＋β)＝得 cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得

cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，

所以 cos β＝－或 cos β＝.

10．已知 α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

解：(1)因为 tan α＝，tan α＝，

所以 sin α＝cos α.

因为 sin2 α＋cos2 α＝1，

所以 cos2 α＝，

因此 cos 2α＝2cos2 α－1＝－.

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