-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题19 同角三角函数的基本关系及诱导公式

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专题 19 同角三角函数的基本关系及诱导公式

【考点总结】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

(2)商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)．

2．三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

角

2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α－απ－α－α＋α

正弦 sin α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α

余弦 cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α

正切 tan αtan_α－tan_α－tan_α

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象

限

【常用结论】

1．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

2．同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

(2)sin α＝tan αcos α.

(3)sin2α＝＝；

cos2α＝＝.

【易错总结】

(1)平方关系没有考虑角的范围导致出错；

(2)不会运用消元的思想；

(3)π±α的形式没有把 k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错．

例1．已知 sin αcos α＝，且<α<，则 cos α－sin α＝______．

解析：因为<α<，所以 cos α<0，sin α<0 且cos α>sin α，所以 cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin

α·cos α＝1－2×＝，所以 cos α－sin α＝.

答案：

例2．已知 tan x＝2，则 1＋sin2x的值为________．

解析：1＋sin2x＝cos2x＋2sin2x

＝＝＝.

答案：

例3．已知 A＝＋(k∈Z)，则 A的值构成的集合是________．

解析：k＝2n(n∈Z)时，

A＝＋

＝＋＝2.

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

A＝＋

＝＋

＝－1＋(－1)＝－2.

答案：{2，－2}

【考点解析】

【考点】一、同角三角函数基本关系式的应用

角度一　“知一求二”问题

例1、(1)已知 cos α＝k，k∈R，α∈，则 sin(π＋α)＝(　　)

A．－　　　　　　　 B．

C．± D．－k

(2)若α∈，sin(π－α)＝，则 tan α＝(　　)

A．－ B．

C．－ D．

【解析】　(1)由cos α＝k，α∈得sin α＝，

所以 sin(π＋α)＝－sin α＝－.故选 A.

(2)因为 α∈，sin α＝，

所以 cos α＝－，所以 tan α＝－.

【答案】　(1)A　(2)C

利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变

形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合

同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．　

角度二　弦切互化

例2、 (1)已知＝5，则 cos2α＋sin 2α的值是　(　　)

A. B．－

C．－3 D．3

(2)已知 θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则 tan θ＝________．

【解析】　(1)由＝5得＝5，可得 tan α＝2，则cos2 α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝

＝＝.故选 A.

(2)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2 θ＋cos2 θ，得6 sin θcos θ＝－8cos2 θ，又因为 θ为第四象限角，所以 cos

θ≠0，所以 6sin θ＝－8cos θ，所以 tan θ＝－.

【答案】　(1)A　(2)－

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