-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题17 导数探究函数的零点(训练)(解析版)

3.0 envi 2025-03-07 4 4 60.38KB 6 页 3知币

侵权投诉

专题 17 导数探究函数的零点

一、利用导数探究函数的零点问题

[基础题组练]

1．(2020·江西赣州模拟)若函数 f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数 a的取值范围是(　　)

A.　　　　 B．

C. D．

解析：选D.函数 f(x)＝aex－x－2a的导函数 f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数 f(x)在R上

单调递减，不可能有两个零点；当 a>0 时，令f′(x)＝0，得x＝ln，函数 f(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以 f(x)的最小值为 f＝1－ln－2a＝1＋ln a－2a.令g(a)＝1＋ln a－2a(a>0)，则g′(a)＝－2.当a∈时，g(a)单

调递增；当 a∈时，g(a)单调递减，所以 g(a)max＝g＝－ln 2<0，所以 f(x)的最小值为 f<0，函数 f(x)＝aex－x

－2a有两个零点．综上所述，实数 a的取值范围是(0，＋∞)，故选 D.

2．已知函数 f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－.则方程 f(x)＝0的解的个数是________．

解析：因为 f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，

所以 f′(x)＝－x＋2＝

＝，

当x∈(0，3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(3，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，

所以 f(x)max＝f(3)＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0，

所以方程 f(x)＝0只有一个解．

答案：1

3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ex－ax2.

(1)若a＝1，证明：当 x≥0时，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求 a.

解：(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.

设函数 g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.

当x≠1时，g′(x)＜0，所以 g(x)在(0，＋∞)单调递减．而 g(0)＝0，故当 x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.

(2)设函数 h(x)＝1－ax2e－x.

f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当 h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．

(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；

(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当 x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.

所以 h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．

故h(2)＝1－是 h(x)在[0，＋∞)的最小值．

①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；

②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；

③若h(2)＜0，即a＞，由于 h(0)＝1，所以 h(x)在(0，2)有一个零点．

由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以

h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.

故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此 h(x)在(0，＋∞)有两个零点．

综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.

4．(2020·武汉调研)已知函数 f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)讨论 g(x)＝f(x)在区间[0，1]上零点的个数．

解：(1)因为 f(x)＝ex－ax－1，

所以 f′(x)＝ex－a，

当a≤0时，f′(x)>0 恒成立，

所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；

当a>0 时，令f′(x)<0，得x<ln a，

令f′(x)>0，得x>ln a，

所以 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．

(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝，

先考虑 f(x)在区间[0，1]上的零点个数，

当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且 f(0)＝0，所以 f(x)在[0，1]上有一个零点；

当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以 f(x)在[0，1]上有一个零点；

当1<a<e 时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，1)上单调递增，

而f(1)＝e－a－1，当e－a－1≥0，即1<a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有两个零点，

当e－a－1<0，即e－1<a<e 时，f(x)在[0，1]上有一个零点．

当x＝时，由f＝0得a＝2(－1)，

所以当 a≤1或a>e－1或a＝2(－1)时，g(x)在[0，1]上有两个零点；

当1<a≤e－1且a≠2(－1)时，g(x)在[0，1]上有三个零点．

5．(2020·长春市质量监测(二))已知函数 f(x)＝ex＋bx－1(b∈R)．

(1)讨论 f(x)的单调性；

(2)若方程 f(x)＝ln x有两个实数根，求实数 b的取值范围．

解：(1)由题意可得 f′(x)＝ex＋b，

当b≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

当b<0 时，若x≥ln(－b)，则f′(x)≥0，f(x)在[ln(－b)，＋∞)上单调递增；

若x<ln(－b)，则f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln(－b))上单调递减．

(2)令g(x)＝ex＋bx－1－ln x，则g′(x)＝ex＋b－，易知 g′(x)单调递增且一定有大于 0的零点，设g′(x)大

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题17 导数探究函数的零点(训练)(解析版).docx

共6页,预览2页

还剩页未读，继续阅读

-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题17 导数探究函数的零点(训练)(解析版)

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: