-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题15 导数与函数的极值、最值

3.0 envi 2025-03-07 4 4 90.8KB 8 页 3知币

侵权投诉

专题 15 导数与函数的极值、最值

【考点解析】

【考点】一、利用导数解决函数的极值问题

角度一　根据图象判断函数的极值

例1、设函数 f(x)在R上可导，

其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)

B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)

C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)

D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)

【解析】　由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时 f′(x)>0；当－2<x<1 时，0<1－x<3，此时 f′(x)<0；

当1<x<2 时，－1<1－x<0，此时 f′(x)<0；当 x>2 时，1－x<－1，此时 f′(x)>0，由此可以得到函数 f(x)在x＝

－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

【答案】　D

知图判断函数的极值的情况；先找导数为 0的点，再判断导数为 0的点的左、右两侧的导数符号，最

后判断是极大值点还是极小值点．　

角度二　求函数的极值

例2、(2020·湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.

(1)当a＝0时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数 g(x)的极值．

【解】　(1)当a＝0时，f(x)＝ln x＋x，

则f(1)＝1，所以切点为(1，1)，

又f′(x)＝＋1，

所以切线斜率 k＝f′(1)＝2，

故切线方程为 y－1＝2(x－1)，

即2x－y－1＝0.

(2)g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋1，

则g′(x)＝－ax＋(1－a)＝，

当a≤0时，因为 x＞0，所以 g′(x)＞0.

所以 g(x)在(0，＋∞)上是增函数，函数 g(x)无极值点．

当a＞0时，g′(x)＝

＝－，

令g′(x)＝0得x＝.

所以当 x∈时，g′(x)＞0；

当x∈时，g′(x)＜0.

因为 g(x)在上是增函数，在上是减函数．

所以 x＝时，g(x)有极大值 g＝ln－×＋(1－a)·＋1＝－ln a.

综上，当a≤0时，函数 g(x)无极值；

当a＞0时，函数 g(x)有极大值－ln a，无极小值．

利用导数研究函数极值问题的一般流程

角度三　已知函数的极值求参数

例3、设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x轴平行，求 a；

(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求 a的取值范围．

【解】　(1)因为 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，

所以 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.

f′(1)＝(1－a)e.

由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，

解得 a＝1.

此时 f(1)＝3e≠0.

所以 a的值为 1.

(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.

若a>，则当 x∈时，f′(x)<0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.

所以 f(x)在x＝2处取得极小值．

当a≤，则当 x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，

所以 f′(x)>0.

所以 2不是 f(x)的极小值点．

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题15 导数与函数的极值、最值.docx

共8页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题15 导数与函数的极值、最值

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: