-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题15 导数与函数的极值、最值(提升训练)(解析版)

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专题 15 导数与函数的极值、最值

1．(2019 汕头模拟)若a>0，b>0，f(x)＝4x3－ax2－2bx，且函数在 x＝1处有极值，则 ab 的最大值等于(　　)

(A)3 (B)6 (C)9 (D)2

C　解析：因为 f′(x)＝12x2－2ax－2b.又因为在 x＝1处有极值，

所以 a＋b＝6，且 Δ＝(－2a)2＋96b>0，

因为 a>0，b>0，

所以 ab≤2＝9，当且仅当 a＝b＝3时取等号．

所以 ab 的最大值等于 9.故选 C.

2．(2019 天津模拟)若函数 f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数 b的取值范围是(　　)

(A)(0,1) (B)(－∞，1)

(C)(0，＋∞) (D)

D　解析：f′(x)＝3x2－6b，令 f′(x)＝0得x2＝2b，由题意知，0＜＜1，所以 0＜b＜.故选 D.

3．(2019 胶州一中)已知点 P在曲线 y＝上，α为曲线在点 P处的倾斜角，则 α的取值范围是(　　)

(A) (B)

D　解析：y′＝－＝－≥－＝－1，α∈，故选 D.

4．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若 x＝－1为函数 f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为 y＝f

(x)图象的是(　　)

答案：D

5．(2018 唐山质检)若函数 y＝x3－x2＋a在[－1,1]上有最大值 3，则该函数在[－1,1]上的最小值是(　　)

(A)－ (B)0 (C) (D)1

C　解析：y′＝3x2－3x＝3x(x－1)>0，

解得 x>1 或x<0，y′>0，

解得 0<x<1，y′<0，

所以当 x[∈－1,1]时，[－1,0]函数增，[0,1]函数减，

所以当 x＝0时，函数取得最大值 f(0)＝a＝3，

y＝x3－x2＋3，f(－1)＝，f(1)＝，

所以最小值是 f(－1)＝.故选 C.

6．若函数 f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数 a的取值范围是(　　)

(A)(－，1) (B)[－，1)

(C)[－2,1) (D)(－，－2]

C　解析：f′(x)＝3x2－3＝0，

得x＝±1，且 x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．

函数 f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，

则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6－a2)内，

即实数 a满足 a<1<6－a2

且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.

解a<1<6－a2，得－<a<1，

不等式 a3－3a≥f(1)＝－2，

即a3－3a＋2≥0，即 a3－1－3(a－1)≥0，

即(a－1)(a2＋a－2)≥0，

即(a－1)2(a＋2)≥0，

即a≥－2.

故实数 a的取值范围是[－2,1)．

故选 C.

7．(2019 郑州模拟)已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若 m，n[∈ －1,1]，则 f(m)＋f′(n)的最

小值是________．

解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知＝2，得 a＝3，即 f(x)＝－x3＋3x2－4.根据函数 f(x)的极值点，可得

函数 f(m)在[－1,1]上的最小值为 f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1,1]上单调递增，所以 f′(n)的最小值为 f′

(－1)＝－9.[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)nin＝－4－9＝－13.

答案：－13

8.(2019 东莞联考)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的极小值是_______

_．

解析：当x＝0时，f(x)取得极小值 f(0)＝c.

答案：c

9．(2019 淄博联考)已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1存在极值，则实数 m的取值范围为________．

解析：因为函数 f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值，又存在极小值，

f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0，它有两个不相等的实根，

所以 Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得 m<－3或m>6.

答案：(－∞，－3) (6∪ ，＋∞)

10．已知函数 f(x)＝(x2－2ax＋a2)ln x，a∈R.

(1)当a＝0时，求函数 f(x)的单调区间．

(2)当a＝－1时，令 F(x)＝＋x－ln x，证明：F(x)≥－e－2，其中 e为自然对数的底数．

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