-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题13 导数的计算

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专题 13 导数的计算

【考点总结】

1．导数的概念

(1)函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim＝lim为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim＝lim．

(2)导数的几何意义

函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是

位移函数 s(t)对时间 t的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数 f(x)的导函数

称函数 f′(x)＝lim为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax

(a>0 且a≠1)

f′(x)＝axln_a

f(x)＝exf′(x)＝ex

f(x)＝logax

(x>0，a>0 且a≠1)

f′(x)＝

f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)′＝(g(x)≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y对x的导数等于 y

对u的导数与 u对x的导数的乘积．

【常用结论】

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

3．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|

反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

【易错总结】

(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；

(2)不会用方程法解导数求值．

例1．已知函数 f(x)＝sin，则 f′(x)＝________．

解析：f′(x)＝[sin]′＝cos·′＝2cos.

答案：2cos

例2．设函数 f(x)的导数为 f′(x)，且 f(x)＝f′sin x＋cos x，则 f′＝________．

解析：因为 f(x)＝f′sin x＋cos x，

所以 f′(x)＝f′cos x－sin x，

所以 f′＝f′cos－sin，

即f′＝－1，所以 f(x)＝－sin x＋cos x，

f′(x)＝－cos x－sin x.

故f′＝－cos－sin＝－.

【考点解析】

【考点】一、导数的计算

角度一　根据求导法则求函数的导数

例1、求下列函数的导数：

(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；

(2)y＝sin；

(3)y＝3xex－2x＋e；

(4)y＝；

(5)y＝ln.

【解】　(1)因为 y＝(3x2－4x)(2x＋1)

＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，

所以 y′＝18x2－10x－4.

(2)因为 y＝sin＝－sin x，

所以 y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x.

(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′

＝3xexln 3＋3xex－2xln 2

＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

(4)y′＝＝

＝.

(5)y′＝′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝

[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝·(2x－1)′－·(2x＋1)′＝－＝.

角度二　抽象函数的导数计算

例2、已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2)＝________．

【解析】　因为 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以 f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以 f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所

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