-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题13 导数的计算(提升训练)(解析版)

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专题 13 导数的计算

1．已知曲线 y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)

(A)e (B)－e (C) (D)－

C　解析：y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则 k＝f′(x0)，∴切线方程为 y－y0＝(x－x0)，

又切线过点(0,0)，代入切线方程得 x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝＝.

2．设函数 f(x)＝ax3＋bx(a≠0)，若 f(3)＝3f′(x0)，则 x0等于(　　)

(A)±1 (B) (C)± (D)2

C　解析：由已知得 f′(x)＝ax2＋b.又f(3)＝3f′(x0)，则有 9a＋3b＝3ax＋3b，所以 x＝3，即 x0＝±.

3．设曲线 y＝在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋3＝0垂直，则 a等于(　　)

(A)2 (B)－2 (C) (D)－

B　解析：因为 y′＝，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为 k＝－，又因为直线 ax＋y＋3＝0的斜率为－a，

所以－a·＝－1，解得 a＝－2.故选 B.

4．已知函数 f(x)＝xn＋1(x∈N*)的图象与直线 x＝1交于点 P，若图象在点 P处的切线与 x轴交点的横坐标为

xn，则 log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015 的值为(　　)

(A)－1 (B)1－log20162015

(C)－log20162015 (D)1

答案：A

5．(2019 泰安期末)若函数 f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数的取值范围为(　

)

(A)(1,5) (B)[1,5)

(C)(1,5] (D)(－∞，1) (5∪ ，＋∞)

B　解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，

∵f(x)在区间(－1,1)内恰有一个极值点，

∴f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内有唯一解．

∴f′(－1)f′(1)＝(1－a)(5－a)＜0，

解得 1＜a＜5，

又当 a＝1时是，f′(x)＝3x2＋2x－1＝(x＋1)(3x－1)在区间(－1,1)内恰有一个解，

当a＝5时，函数 f′(x)＝3x2＋2x－5＝(x－1)(3x＋5)在区间(－1,1)内没有解．

综上实数的取值范围为[1,5)．故选 B.

6．已知 f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则 f′(x)的图象是(　　)

A　解析：因为 f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，所以 f′(x)＝x－sin x为奇函数，且 f′＜0.

故选 A.

7．设 a为实数，函数 f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为 f′(x)，且 f′(x)是偶函数，则曲线 y＝f(x)在点(2，f

(2))处的切线方程为(　　)

(A)9x－y－16＝0 (B)9x＋y－16＝0

A　解析：由题意可得 f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函数，则 a＝0，所以 f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则

f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为 y－2＝9(x－2)，即为 9x－y－16＝0，故选 A.

8．(2018 唐山模拟)曲线 y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则 a＝______

__.

解析：∵y＝aln x，∴y′＝，∴在 x＝1处的切线的斜率 k＝a，而 f(1)＝aln 1＝0，故切点为(1,0)，∴切线

方程为 y＝a(x－1)，

∴×a×1＝4，∴a＝8.

答案：8

9．(2018 河南六市一模)已知函数 f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝2x＋5，则 a－b＝____

____.

解析：∵f′(x)＝1－，∴2＝f′(1)＝1－a，∴a＝－1，

∵f(1)＝7＝1＋a＋b，∴b＝7，

∴a－b＝－8.

答案：－8

10．已知点 M是曲线 y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在 M处的切线为 l，求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线 l的倾斜角 α的取值范围．

解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，

所以当 x＝2时，y′＝－1，y＝，

所以斜率最小的切线过 2，，斜率为－1，

所以切线方程为 x＋y－＝0.

(2)由(1)得k≥－1，所以 tan α≥－1，

所以 α0∈，∪，π.

11．若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c图象上点 A(2,1)处的切线方程为 2x－y＋a＝0，则 a＋b＋c＝(　　)

(A)－ (B)－ (C)0 (D)

C　解析：因为 A(2,1)在2x－y＋a＝0上，所以 4－1＋a＝0，a＝－3，又 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(2)＝2，

所以 12＋4a＋b＝2，得 b＝2.将A(2,1)代入 f(x)＝x3－3x2＋2x＋c中，得 8－12＋4＋c＝1，得 c＝1，所以 a

＋b＋c＝0，故选 C.

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