-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题13 导数的计算(基础训练)(解析版)

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专题 13 导数的计算

[基础题组练]

1．函数 f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)

A．2(x2－a2)　　　　　 B．2(x2＋a2)

C．3(x2－a2)　　　　　　 D．3(x2＋a2)

解析：选C.f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．

2．(2020·安徽江南十校检测)曲线 f(x)＝在点 P(1，f(1))处的切线 l的方程为(　　)

A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0

C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0

解析：选D.因为 f(x)＝，所以 f′(x)＝，所以 f′(1)＝－3，又f(1)＝1，所以所求切线方程为 y－1＝－3(x

－1)，即3x＋y－4＝0.

3．(2020·安徽宣城八校联考)若曲线 y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则 a＝(　　)

A. B．

C. D．

解析：选B.因为 y＝aln x＋x2(a>0)，所以 y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以

斜率 k≥，因此＝2，所以 a＝.故选 B.

4．如图所示为函数 y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么 y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)

解析：选D.由y＝f′(x)的图象知 y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数 y＝f(x)的切线的斜率在(0，

＋∞)上也单调递减，故排除 A、C.又由图象知 y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在 x＝x0处相交，说明 y＝f(x)与y＝g

(x)的图象在 x＝x0处的切线的斜率相同，故排除 B.

5．(2020·广东佛山教学质量检测(一))若曲线 y＝ex在x＝0处的切线也是曲线 y＝ln x＋b的切线，则 b＝(　

)

A．－1 B．1

C．2 D．e

解析：选C.y＝ex的导数为 y′＝ex，则曲线 y＝ex在x＝0处的切线斜率 k＝1，则曲线 y＝ex在x＝0处的

切线方程为 y－1＝x，即y＝x＋1.y＝ln x＋b的导数为 y′＝，设切点为(m，n)，则＝1，解得 m＝1，则n＝2，

即有 2＝ln 1＋b，解得 b＝2.故选 C.

6．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为 f′(x)，且 f(ln x)＝x＋ln x，则 f′(1)＝________．

解析：因为 f(ln x)＝x＋ln x，所以 f(x)＝x＋ex，

所以 f′(x)＝1＋ex，

所以 f′(1)＝1＋e1＝1＋e.

答案：1＋e

7．(2020·江西重点中学 4月联考)已知曲线 y＝＋在 x＝1处的切线 l与直线 2x＋3y＝0垂直，则实数 a的值

为________．

解析：y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线 l与直线 2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得 a＝.

答案：

8．若过点 A(a，0)作曲线 C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数 a的取值范围是________．

解析：设切点坐标为(x0，x0ex0)，y′＝(x＋1)ex，y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为 y－x0ex0＝(x0＋1)e

x0(x－x0)，将点 A(a，0)代入可得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，化简，得x－ax0－a＝0，过点 A(a，0)作曲线 C

的切线有且仅有两条，即方程 x－ax0－a＝0有两个不同的解，则有 Δ＝a2＋4a＞0，解得 a＞0或a＜－4，

故实数 a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．

答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)

9．已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b的值；

(2)若曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y轴的切线，求 a的取值范围．

解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意得

解得 b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y轴的切线，

所以关于 x的方程 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以 Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，

即4a2＋4a＋1>0，

所以 a≠－.

所以 a的取值范围为∪.

10．已知函数 f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线 l为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上．

因为 f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.

所以 f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13.

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