-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题11 函数与方程

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专题 11 函数与方程

【考点总结】

1．函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．

(2)三个等价关系：方程 f(x)＝0有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．

2．函数零点的判定

如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么函数 y＝f(x)

在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是 f(x)＝0的根．我们把这一结论称为

函数零点存在性定理．

3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数 y＝ax2＋b

x＋c(a＞0) 的图象

与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点

零点个数[来源:Zxxk.Com] 两个一个零个

【常用结论】

有关函数零点的三个结论

(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

【易错总结】

(1)错用零点存在性定理；

(2)误解函数零点的定义；

( 3)忽略限制条件；

(4)错用二次函数在 R上无零点的条件．

例1．函数 f(x)＝x＋的零点个数是______．

解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0 时，f(x)>0，当x<0 时，f(x)<0，所以函数没有零点．

答案：0

例2．函数 f(x)＝x2－3x的零点是______．

解析：由 f(x)＝0，得x2－3x＝0，

即x＝0和x＝3.

答案：0和3

例3．若二次函数 f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数 m的取值范围是______．

解析：二次函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝1.若在区间(0，4 )上存在零点，只需 f(1)≤0且f(4)>0 即可，

即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.

答案：(－8，1]

例4．若二次函数 f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数 k的取值范围是______．

解析：由题意得 Δ＝k2－4k<0，解得 0<k<4.

答案：(0，4)

【考点解析】

【考点】一、函数零点所在区间的判断

例1．设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)　　　　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，4)

解析：选B.因为 f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，所以 f(1)·f(2)＜0，

因为函数 f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，所以 f(x)的零点所在的区间是(1，2)．

例2．若 a＜b＜c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：选A.因为 a＜b＜c，所以 f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，

f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，

由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有

两个零点．因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选 A.

例3．设函数 y1＝x3与y2＝的图象的交点为(x0，y0)，若 x0∈(n，n＋1)，n∈N，则 x0所在的区间是______．

解析：令 f(x)＝x3－，

则f(x0)＝0，易知 f(x)为增函数，[来源:Zxxk.Com]

有f(1)<0，f(2)>0，

所以 x0所在的区间是(1，2)．[来源:Z&xx&k.Com]

答案：(1，2)

确定函数零点所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．

(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f

(b)＜0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断．　 [来源:学_科_网]

【考点】二、函数零点的个数

例1、(1)函数 f(x)＝的零点个数是______．

(2)函数 f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为______．

【解析】　(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得 x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当 x>

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