-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题07 二次函数与幂函数

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专题 07 二次函数与幂函数

【考点总结】

1．幂函数

(1)定义：形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为

y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.

(2)五种幂函数的图象

(3)性质

① 幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

① 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

② 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)

值域

单调性在上单调递减；

在上单调递增

在上单调递增；

在上单调递减

对称性函数的图象关于 x＝－对称

【常用结论】

1．幂函数的图象和性质

(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象

限内，要看函数的奇偶性．

(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

(3)当α>0 时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；[来源:Zxxk.Com]

当α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．

2．一元二次不等式恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是

【易错总结】

(1)二次函数图象特征把握不准；

(2)二次函数的单调性规律掌握不到位；

(3)忽视幂函数的定义域；

(4)幂函数的图象掌握不到位．

例1．如图，若 a<0，b>0，则函数 y＝ax2＋bx 的大致图象是________(填序号)．

解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又 a<0，b>0，所以二次函数图象的对称

为x＝－>0，故③正确．

答案：③

例2．若函数 y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则 m的取值范围是________．

解析：因为函数 y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，

所以，即m≤－.

答案：

例3．已知幂函数 f(x)＝x－，若 f(a＋1)<f(10－2a)，则 a的取值范围为________．

解析：由题意知解得 3<a<5.

答案：(3，5)

例4．当 x∈(0，1)时，函数 y＝xm的图象在直线 y＝x的上方，则 m的取值范围是________．

答案：(－∞，1)

【考点解析】

【考点】一、幂函数的图象及性质

例1．幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3，)，则 f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

解析：选C.设幂函数 f(x)＝xα，代入点(3，)，得＝3α，解得 α＝，所以 f(x)＝x，可知函数为奇函数，在

(0，＋∞)上单调递增．

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