-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题07 二次函数与幂函数(基础训练)(解析版)

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专题 07 二次函数与幂函数

1．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若 f(x)有最小值－2，则 a的值为(　　)

A．－1　　　　　　　　　 B．0

C．1 D．－2

解析：选D.函数 f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线 x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单

调递增，则当 x＝0时，f(x)的最小值为 f(0)＝a＝－2.

2．一次函数 y＝ax＋b与二次函数 y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)

解析：选C.若a>0，则一次函数 y＝ax＋b为增函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可

排除 A；若 a<0，一次函数 y＝ax＋b为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除 D；对

于选项 B，看直线可知 a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在 y轴的右侧，故可排除 B.故选 C.

3．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)

A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0

C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0

解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为 x＝－＝2，所以 4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，

f(4)>f(1)，所以 f(x)先减后增，于是 a>0，故选 A.

4.幂函数 y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则 m的值为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选C.因为 y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以 m2－4m<0，即0<m<4.

又因为函数的图象关于 y轴对称，且m∈Z，

所以 m2－4m为偶数，因此 m＝2.

5．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为

(　　)

A．－3 B．1

C．2 D．1或2

解析：选B.由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数 f(x)＝x－2

为偶函数，其图象关于 y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以 n＝1满足题意；当 n＝－3时，函数

f(x)＝x18 为偶函数，其图象关于 y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以 n＝－3不满足题意，舍去．

故选 B.

6．已知二次函数的图象与 x轴只有一个交点，对称轴为 x＝3，与 y轴交于点(0，3)，则它的解析式为____

____．

解析：由题意知，可设二次函数的解析式为 y＝a(x－3)2，又图象与 y轴交于点(0，3)，

所以 3＝9a，即a＝.

所以 y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.

答案：y＝x2－2x＋3

7．若 f(x)＝－x2＋2ax 与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数 a的取值范围是________．[来源:学科网ZXXK]

解析：因为 f(x)＝－x2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以 a≤1，又因为 g(x)＝在[1，2]上是减函数，所以

a>0，所以 0<a≤1.

答案：(0，1]

8．已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0，2]上是增函数，若 f(a)≥f(0)，则实数 a的取值范围

是________．

解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数 f(x)图象的对称轴为 x＝＝2，又函数 f(x)在[0，2]上单调递增，所

以由 f(a)≥f(0)可得 0≤a≤4.[来源:Z§xx§k.Com]

答案：[0，4][来源:Zxxk.Com]

9．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数 f(x)的值域；

(2)若函数 f(x)在[－1，3]上的最大值为 1，求实数 a的值．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，

对称轴 x＝－∈[－2，3]，

所以 f(x)min＝f＝－－3＝－，

f(x)max＝f(3)＝15，

所以函数 f(x)的值域为.

(2)对称轴为 x＝－.[来源:学|科|网]

①当－≤1，即a≥－时，

f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

所以 6a＋3＝1，即a＝－满足题意；

②当－>1，即a<－时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

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