-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题06 函数的奇偶性及周期性

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专题 06 函数的奇偶性及周期性

【考点总结】

1．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那

么函数 f(x)是偶函数关于 y轴对称

奇函数

[来源:学&科&网]

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，

那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，都有 f(x

＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)

的最小正周期．

【常用结论】

1．函数奇偶性的常用结论

(1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不

充分条件．

(2)若奇函数 f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(3)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值 x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

【易错总结】

(1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；

(2)忽视奇函数的对称性；

(3)忽视定义域的对称性．

例1．设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数 f(x)的解析式为 f(x)＝____

____．

解析：设x<0，则－x>0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义

可知 f(0)＝0，所以 f(x)＝

答案：

例2．设奇函数 f(x)的定义域为[－5，5]，若当 x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)<0 的解集

为________．

解析：由题图可知，当0<x<2 时，f(x)>0；当 2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，所以当－2<x<0 时，

f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0 的解集为(－2，0)∪(2，5]．

答案：(－2，0)∪(2，5]

例3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b的值是________．

解析：因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，

所以 a－1＋2a＝0，

所以 a＝.

又f(－x)＝f(x)，

所以 b＝0，所以 a＋b＝.

答案：

【考点解析】

【考点】一、函数的奇偶性

角度一　判断函数的奇偶性

例1、判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝

【解】　(1)由f(x)＝，可知⇒故函数 f(x)的定义域为(－6，0)∪(0，6]，定义域不关于原点对称，故f(x)

为非奇非偶函数．

(2)由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)

＝－f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)由⇒－1<x<0 或0<x<1，

定义域关于原点对称．

此时 f(x)＝＝

＝－，

故有 f(－x)＝－＝

＝－f(x)，

所以函数 f(x)为奇函数．

(4)

法一：图象法

画出函数 f(x)＝的图象如图所示，图象关于 y轴对称，故f(x)为偶函数．

法二：定义法

易知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，

当x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x>0

时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．

法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．

角度二　函数奇偶性的应用

例1、(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f(x)＝－eax，若 f(ln 2)＝8，则 a＝________．

(2)函数 f(x)在R上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________．

(3)(2020·湖南永州质检)已知函数 f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若 f(a)＝2，则 f(－a)＝________．

【解析】　(1)当x>0 时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数 f(x)为奇函数，所以当 x>0 时，f(x)＝－f(－x)

＝e－ax，所以 f(ln 2)＝e－aln 2＝＝8，

所以 a＝－3.

(2)因为 f(x)为奇函数，当x>0 时，f(x)＝x＋1，

所以当 x<0 时，－x>0，

f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，

即x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.

(3)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然 F(x)为奇函数．又 F(a)＝f(a)－1＝1，所以 F(－a)＝f(－a)－1＝－1，

从而 f(－a)＝0.[来源:学科网 ZXXK]

【答案】　(1)－3　(2)x－1　(3)0

(1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；[来源:学科网]

②判断 f(x)与f(－x)是否具有等量关系．

(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等

式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．　

【变式】1．设函数 f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)

A．|f(x)|是偶函数　　　　　

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