-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题06 函数的奇偶性及周期性(基础训练)(解析版)

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专题 06 函数的奇偶性及周期性

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝　　　　　　　 B．y＝|x|－1

C．y＝lg x D．y＝

解析：选B.y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；

y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．

2．设 f(x)为定义在 R上的奇函数，当 x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则 f(－2)＝(　　)

A．6 B．－6

C．4 D．－4

解析：选A.因为 f(x)为定义在 R上的奇函数，且当 x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b，

所以 f(0)＝1＋2b＝0，

所以 b＝－.

所以 f(x)＝3x－7x－1，

所以 f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.选A.

3．已知函数 y＝f(x)，满足 y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且 f(1)＝，设 F(x)＝f(x)＋f(－x)，则 F(3)＝(　

)

A. B．

C．π D．

解析：选B.由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f

(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝，故选 B.

4．定义在 R上的偶函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)．若 f(2)>1，f(7)＝a，则实数 a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

解析：选D.因为 f(x＋3 )＝f(x)，所以 f(x)是定义在 R上的以 3为周期的周期函数，所以 f(7)＝f(7－9)＝f

(－2)．又因为函数 f(x)是偶函数，

所以 f(－2)＝f(2)，所以 f(7)＝f(2)>1，

所以 a>1，即a∈(1，＋∞)．故选 D.

5．(2020·湖南郴州质量检测)已知 f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则 f(x－1)

≤f(2x)的解集为(　　)

A. B．

C．[－1，1] D．

解析：选B.因为 f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以 2b＋1－b＝0，所以 b＝－1，

因为 f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数 f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数 f(x)在(0，2]上为减函数，则

由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，

解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得

综上，所求不等式的解集为.故选 B.

6．若函数 f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．

解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，所以 x

ln a＝0恒成立，所以 ln a＝0，即a＝1.

答案：1

7．(2020·四川乐山模拟)已知函数 f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝0，且当 x≥0时，f(x)＝－1，则 f(－1)＝________

____．

解析：因为 f(－x)＋f(x)＝0，

所以 f(x)为奇函数，

又当 x≥0时，f(x)＝－1，

则f(0)＝－1＝0，所以 m＝－1.

所以当 x≥0时，f(x)＝－1，

所以 f(－1)＝－f(1)＝－＝.

答案：

8．定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有 f(x)＝x2，则 f＝________．

解析：函数 f(x)的定义域是 R，f(x)＝－f(－x)，所以函数 f(x)是奇函数. 又f(x)＝f(2－x)，所以 f(－x)＝f

(2＋x)＝－f(x)，所以 f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数 f(x)是以 4为周期的奇函数，所以 f＝f＝f＝－f.因为在

[0，1]上有 f(x)＝x2，所以 f＝＝，故f＝－.

答案：－

9．已知函数 f(x)＝是奇函数．

(1)求实数 m的值；

(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.[来源:Zxxk.Com]

又f(x)为奇函数，

所以 f(－x)＝－f(x)，

于是 x＜0时，

f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以 m＝2.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

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