-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题05 函数的单调性与最值

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专题 05 函数的单调性与最值

【考点总结】

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 减函数

定义

一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的

任意两个自变量的值 x1，x2[来源:Zxxk.Com]

当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么

就说函数 f(x)在区间 D上是增函数

当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么

就说函数 f(x)在区间 D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，

区间 D叫做函数 y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足

条件 (1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≤M；

(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M

(1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M；

(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

【常用结论】

1．函数单调性的两种等价形式

设任意 x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，

(1)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

2．五条常用结论

(1)对勾函数 y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．

(2)在区间 D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(3)函数 f(g(x))的单调性与函数 y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

【易错总结】

(1)求单调区间忘记定义域导致出错；

(2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调；

(3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；

(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念．

例1．函数 y＝log

\f(1,2

(x2－4)的单调递减区间为________．

答案：(2，＋∞)

例2．已知函数 f(x)＝是定义在 R上的减函数，则实数 a的取值范围是________．

解析：由题意得

解得即 a≤.

答案：

例3．函数 y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且 f(a＋1)<f(2a)，则实数 a的取值范围是________．

解析：由题意得

即

所以－1≤a<1.

答案：[－1，1)

例4．(1)若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数 a的取值范围是________；

(2)若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则 a的值为________．

答案：(1)a≤－3　(2)－3

【考点解析】

【考点】一、确定函数的单调性(区间)

角度一　给出具体解析式的函数的单调性

例1、(1)函数 f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　　 B．和[2，＋∞)

C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞)

(2)函数 y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

【解析】　(1)y＝|x2－3x＋2|

＝

如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1)和.故选 B.

(2)令u＝x2＋x－6，

则y＝可以看作是由 y＝与 u＝x2＋x－6复合而成的函数．

令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

易知 u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，

所以 y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．

【答案】　(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]

角度二　含参函数的单调性

例2、 (一题多解)判断并证明函数 f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．

【解】　法一：设－1＜x1＜x2＜1，

f(x)＝a＝a，

f(x1)－f(x2)＝a－a

＝，

由于－1＜x1＜x2＜1，

所以 x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当 a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，

即f(x1)＞f(x2)，

函数 f(x)在(－1，1)上单调递减；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

函数 f(x)在(－1，1)上单调递增．

法二：f′(x)＝＝，

所以当 a>0 时，f′(x)<0，当a<0 时，f′(x)>0，

即当 a>0 时，f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，

当a<0 时，f(x)在(－1，1)上为单调递增函数．

确定函数单调性的 4种方法

(1)定义法．利用定义判断．

(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．

(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图

象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数

的单调性．[提醒]　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．　

【变式】1．函数 y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是________．

解析：

由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当 x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

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