-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题04 函数及其表示

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专题 04 函数及其表示

【考点总结】

1．函数与映射的概念

函数映射

两集合 A，B设A，B是两个非空的数集设 A，B是两个非空的集合

对应关系 f：A→B

如果按照某种确定的对应关系 f，

使对于集合 A中的任意一个数

x，在集合 B中都有唯一确定的数

f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系 f，

使对于集合 A中的任意一个元素

x，在集合 B中都有唯一确定的元

素y与之对应

名称称f：A→B为从集合 A到集合 B

的一个函数

称对应 f：A→B为从集合 A到集

合B的一个映射

记法 y＝f(x)(x∈A)对应 f：A→B是一个映射

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域．

在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫

做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合 B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等

的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分

段函数．

[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各

段值域的并集．

【常用结论】

几种常见函数的定义域

(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．

(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1的实数集合．

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．

(5)指数函数的底数大于 0且不等于 1.

(6)正切函数 y＝tan x的定义域为.

【易错总结】

(1)对函数概念理解不透彻；

(2)对分段函数解不等式时忘记范围；

(3)换元法求解析式，反解忽视范围．

例1．已知集合 P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从 P到Q的各对应关系 f中不是函数的是________．

(填序号)

①f：x→y＝x；② f：x→y＝x；③ f：x→y＝x；④ f：x→y＝.

解析：对于③，因为当 x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．

答案：③

例2．设函数 f(x)＝则使得 f(x)≥1的自变量 x的取值范围为________．

解析：因为 f(x)是分段函数，所以 f(x)≥1应分段求解．当 x<1 时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，

所以 x≤－2或0≤x<1；当 x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以 1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤1

0，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．

答案：(－∞，－2]∪[0，10]

例3．已知 f()＝x－1，则 f(x)＝________．

解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以 f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．

答案：x2－1(x≥0)[来源:学科网]

【考点解析】

【考点】一、函数的定义域[来源:Z*xx*k.Com]

角度一　求函数的定义域

例1、(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数 y＝的定义域为(　　)

A．(－1，3]　　　　　 B．(－1，0)∪(0，3]

C. [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]

(2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数 f(x)的定义域是[－1，1]，则函数 g(x)＝的定义域是　(

)

A．[0，1] B．(0，1)

C．[0，1) D．(0，1]

【解析】　(1)要使函数有意义，x需满足解得－1<x<0 或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，

3]．故选 B.

(2)由函数 f(x)的定义域为[－1，1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得 0≤x≤1，又由 1－x>0 且1

－x≠1，解得 x<1 且x≠0，所以函数 g(x)的定义域为(0，1)，故选 B.

【答案】　(1)B 　(2)B

角度二　已知函数的定义域求参数

例2、若函数 y＝的定义域为 R，则实数 a的取值范围是(　　)

A. B．

C. D．

【解析】　由ax2－4ax＋2＞0恒成立，

得a＝0或解得 0≤a＜.

【答案】　D

函数定义域的求解策略

(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特

别注意端点值的取舍．

(2)求抽象函数的定义域：①若 y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式 a＜g(x)＜b即可求出 y＝f(g(x))的

定义域；②若 y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出 g(x)在(a，b)上的值域即得 y＝f(x)的定义域．

(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．

[提醒]　(1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简．

(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．　

【变式】1．y＝－log2(4－x2)的定义域是(　　)

A．(－2，0)∪(1，2)　　　 B．(－2，0]∪(1，2)

C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2]

解析：选C.要使函数有意义，则解得 x∈(－2，0)∪[1，2)，

即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)．

【变式】2．已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数 y＝f(x)的定义域为________．

解析：因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以 x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以 y＝f(x)的定义域为

[－1，2]．

答案：[－1，2]

【变式】3．若函数 y＝的定义域为 R，则实数 m的取值范围是________．

解析：因为函数 y＝的定义域为 R，

所以 mx2＋4mx＋3≠0，

所以 m＝0或即 m＝0或0＜m＜，所以实数 m的取值范围是.

答案：

【考点】二、求函数的解析式[来源:学#科#网]

例1、(1)已知二次函数 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求 f(x)；　

(2)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x)．

【解】　(1)法一：待定系数法

因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a

＋2b)x＋a＋b＋c.

因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，

所以解得

所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

法二：换元法

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