-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题01 集合的概念与运算

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专题 01 集合的概念与运算
【考点总结】
1．集合与元素[来源:Zxxk.Com]
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 NN*(或N＋)Z Q R
2.集合间的基本关系
表示
关系 　 自然语言 符号语言 Venn 图
子集
集合 A中所有元素都在集
合B中(即若 x∈A，则 x
∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合 A是集合 B的子集，
且集合 B中至少有一个元
素不在集合 A中
AB
(或BA)
集合相等 集合 A，B中元素相同 A＝B
3.集合的基本运算[来源:学_科_网]
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且 x
∉A}
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁
UA)∩(∁UB)．
2．集合基本关系的四个结论
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若 A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若 AB，BC，则AC.
(4)含有 n个元素的集合有 2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
【易错总结】
(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
例1．已知集合 A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若 B⊆A，则 m＝________．
解析：因为 B⊆A，所以 m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，
所以 m＝0或3.
答案：0或3[来源:学科网 ZXXK]
例2．已知集合 M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若 M∩N＝N，则实数 a的值是________．
解析：易得 M＝{2}．因为 M∩N＝N，所以 N⊆M，所以 N＝∅或N＝M，所以 a＝0或a＝.
答案：0或
例3．已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则 A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B
＝________．
解析：由已知得 A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以 A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，
(∁RA)∪B＝{x|x≤1 或x＞2}．
答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1] (2∪ ，＋∞)
【考点解析】
【考点】一、集合的概念
例1．设集合 A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则 B中的元素有(　　)
A．5个　　　　　　　 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C.依题意有 A＝{－2，－1，0，1，2}，代入 y＝x2＋1得到 B＝{1，2，5}，故B中有 3个元
素．
例2．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝________．
解析：当a＝0时，显然成立；当 a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
答案：0或
例3.已知集合 A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合 A中至少有 3个元素，则 k的取值范围为________．
解析：因为集合 A中至少有 3个元素，所以 log2k＞4，所以 k＞24＝16.
答案：(16，＋∞)
例4．已知集合 A＝{m＋2，2m2＋m}，若 3∈A，则 m的值为________．
解析：由题意得 m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
求解与集合中的元素有关问题的注意事项
(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的
限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．　
【考点】二、集合的基本关系
例1、(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则(　　)
A．B⊆A　　　　　　　 B．A＝B
C．AB D．BA
(2)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件 A⊆C⊆B的集合 C的个数
为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m的取值范围为________．
【解析】　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以 A＝{1，2}．由题意知 B＝{1，2，3，4}，比较 A，
B中的元素可知 AB，故选 C.
(2)因为 A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合 C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，
{1，2，3，4}，共4个．
(3)因为 B⊆A，
所以①若 B＝∅，则2m－1<m＋1，此时 m<2.
②若B≠∅，则解得 2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数 m的取值范围为 m≤3.
【答案】　(1)C　(2)D　(3)(－∞，3]
【迁移探究 1】　(变条件)本例(3)中，若 BA，求 m的取值范围？
解：因为 BA，
①若B＝∅，成立，此时 m＜2.
②若B≠∅，则且边界点不能同时取得，
解得 2≤m≤3.
综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．
【迁移探究 2】　(变条件)本例(3)中，若 A⊆B，求 m的取值范围．
解：若A⊆B，则即所以 m的取值范围为∅.
【迁移探究 3】　(变条件)若将本例(3)中的集合 A改为 A＝{x|x<－2或x>5}，试求 m的取值范围．
解：因为 B⊆A，
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