5.3.3函数的最大（小）值教学设计-（新教材新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）

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5.3.3 函数的极值与最大(小)值

（一）教学内容

函数的极值与最大(小)值

（二）教材分析

函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究

和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究

方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养

（三）学情分析

1.认知基础：

函数的极值与最值

（四）教学目标

1. 知识目标：

了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.

2、能力目标：

体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．

3、素养目标：

1.数学抽象：求函数极值的方法

2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系

3.数学运算：运用导数求函数极值

4.直观想象：导数与极值的关系

（五）教学重难点

重点：求函数最值的方法及其综合应用

难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系

(六)教学思路与方法

（七）课前准备

多媒体

（八）教学过程

一、温故知新

1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：

解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：

如果在 x0附近的左侧 f '(x)>0,右侧 f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；

如果在 x0附近的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；

二、探究新知

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函

数在整个定义域内的性质。也就是说，如果 x0是函数 y=f(x)的极大

（小）值点，那么在 x=x0附近找不到比 f (x0)更大的值，但是，在解决实

际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最

大，哪个值最小，如果 x0是某个区间上函数 y=f(x)的最大（小）值点，

那么 f (x0)不小（大）于函数 y=f(x)在此区间上所有的函数值。

探究 1：函数 y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值

吗？

温故知新，提

出问题，，引导

学生探究运用导

数研究函数的最

值。发展学生数

学抽象、直观想

象、数学运算、

数学建模的核心

素养。

极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)；

探究 2：那么 f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?

最大值：f(a);最小值：f(x3)

探究 3：观察[a,b]上的函数 y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大

值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)

1．函数的最大(小)值的存在性

一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f (x)的图象是一条________的曲

线，那么它必有最大值与最小值．

连续不断

问题 1：函数的极值与最值的区别是什么？

函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个

定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出

的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取

得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极

值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

2．求函数 f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数 y＝f (x)在区间(a，b)上的____；

(2)将函数 y＝f (x)的______与____处的函数值 f (a)，f (b)比较，其中最大

的一个是______，最小的一个是______．

极值；各极值；端点；最大值；最小值

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数 f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(

)

(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( 　)

(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小值就是最大(小)值． (

通过特例，体

会函数极值与最

值之间的关系，

发展学生直观想

象、数学抽象、

数学运算和数学

建模的核心素

养。

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