4.3.2等比数列的前n项和公式 第二课时教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）

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《4.3.2 等比数列的前 n项和公式 (2)》教学设计
-------李德峰
（一）教学内容 等比数列的前 n项和公式
（二）教材分析
1. 教材来源 本节课选自《2019 人教 A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》
2. 地位与作用 数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三
角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要
地位。
（三）学情分析
1.认知基础：学生上一节课已经学习了前 n项和公式。
2.认知障碍：公式灵活应用及构造新数列
（四）教学目标
1. 知识目标：
①熟练应用等比数列前 n项和公式的性质解题
②能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题
2.能力目标：通过本节课例题讲解提高学生分析解决问题的能力.
3.素养目标：通过利用等比数列的前 n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学
建模和数学运算素养.
（五）教学重难点：
1. 重点： 等比数列的前 n项和公式及其应用
2. 难点： 运用等比数列解决实际问题
（六）教学思路与方法
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段
（七）课前准备
多媒体
（八）教学过程
教学环节：复习引入
教学内容 师生活动 设计意图
等比数列前 n项和的性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列
教师提问，学
生回答
强化知识结构，为
本节课做好准备
(或公比为－1，且 n不是偶数)，Sn为
其前 n项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为 q的等比数列，则 Sn
＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).
(3)若{an}是公比为 q的等 比数列 ， S
偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数
项和，则：①在其前 2n项中，＝q；
② 在其前 2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－
a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－
1).
教学环节：例题解析
教学内容 师生活动 设计意图
例10. 如图，正方形
ABCD
的边长为
5cm
，取正方形
ABCD
各边的中点
E , F , G , H ,
作第 2个正方形
EFGH
，然后再取正方形
EFGH
各边的中点
I , J , K , L
，作第 3个正
方形
IJKL
，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形
开始，连续 10 个正
方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，
那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多
少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
解：设正方形的面积为
a1
，后续各正方形的
师生共同探讨
以正方形面积求和
问题为背景，引导
学生运用等比数列
求和知识解决问
题 。 通过问题
（2）渗透极限思
想。
面积依次为
a2
,
a3,… , an
,…，则
a1
=25,
由于第
k+1
个正方形的顶点分别是第
k
个正
方形各边的中点，
所以
ak+1
=
1
2a
k
,因此{
an
}，是以 25 为首项，
1
2
为公比的等比数列.
设{
an
}的前项和为
Sn
（1）
S10
=
25×
[
1−
(
1
2
)
10
]
1−1
2
=
50 ×
[
1−
(
1
2
)
10
]
=
25575
512
所以，前 10 个正方形的面积之和为
25575
512
c
m2
.
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的
面积和
a1+a2+a3+…+an+…
，
而
Sn
=
25×
[
1−
(
1
2
)
n
]
1−1
2
=
50 ×
[
1−
(
1
2
)
n
]
,
随着
n
的无限增大，
(
1
2
)
n
将趋近于 0，
Sn
将
趋近于 50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于
50.
等比数列与等差数
列的前 n项和的综
合应用，让学生学
会如何求这个“陌
生”数列的和的问
题。
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