《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题21 不等式选讲（教师版）

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专题 21 不等式选讲
1．【2022 年全国甲卷】已知 a，b，c均为正数，且
a2+b2+4c2=3
，证明：
(1)
a+b+2c ≤ 3
；
(2)若
b=2c
，则
1
a+1
c≥3
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据
a2+b2+4c2=a2+b2+
(
2c
)
2
，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得
0<a+4c ≤ 3
，即可得到
1
a+4c≥1
3
，再根据权方和不等式即可
得证.
(1)
证明：由柯西不等式有
，
所以
a+b+2c ≤ 3
，
当且仅当
a=b=2c=1
时，取等号，
所以
a+b+2c ≤ 3
；
(2)
证明：因为
b=2c
，
a>0
，
b>0
，
c>0
，由（1）得
a+b+2c=a+4c ≤3
，
即
0<a+4c ≤ 3
，所以
1
a+4c≥1
3
，
由权方和不等式知
1
a+1
c=12
a+22
4c≥
(
1+2
)
2
a+4c=9
a+4c≥3
，
当且仅当
1
a=2
4c
，即
a=1
，
c=1
2
时取等号，
所以
1
a+1
c≥3
.
2．【2022 年全国乙卷】已知 a，b，c都是正数，且
a
3
2+b
3
2+c
3
2=1
，证明：
(1)
abc ≤ 1
9
；
(2)
a
b+c+b
a+c+c
a+b≤1
2❑
√
abc
；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
(1)
证明：因为
a>0
，
b>0
，
c>0
，则
a
3
2>0
，
b
3
2>0
，
c
3
2>0
，
所以
a
3
2+b
3
2+c
3
2
3≥
3
√
a
3
2⋅b
3
2⋅c
3
2
，
即
(
abc
)
1
2≤1
3
，所以
abc ≤ 1
9
，当且仅当
a
3
2=b
3
2=c
3
2
，即
a=b=c=3
√
1
9
时取等号．
(2)
证明：因为
a>0
，
b>0
，
c>0
，
所以
b+c ≥ 2❑
√
bc
，
a+c ≥ 2❑
√
ac
，
a+b ≥2❑
√
ab
，
所以
a
b+c≤a
2❑
√
bc =a
3
2
2❑
√
abc
，
b
a+c≤b
2❑
√
ac =b
3
2
2❑
√
abc
，
c
a+b≤c
2❑
√
ab =c
3
2
2❑
√
abc
a
b+c+b
a+c+c
a+b≤a
3
2
2❑
√
abc +b
3
2
2❑
√
abc +c
3
2
2❑
√
abc =a
3
2+b
3
2+c
3
2
2❑
√
abc =1
2❑
√
abc
当且仅当
a=b=c
时取等号．
3．【2021 年甲卷文科】已知函数 ．
（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求 a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过
时 的值可求.
【详解】
（1）可得 ，画出图像如下：
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