《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题20 坐标系与参数方程（教师版）

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专题 20 坐标系与参数方程
1．【2022 年全国甲卷】在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
¿
（t为参数），曲线
C2
的参数方程为
¿
（s为参数）．
(1)写出
C1
的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C3
的极坐标方程为
，求
C3
与
C1
交点的直角坐标，及
C3
与
C2
交点的直角坐标．
【答案】(1)
y2=6x−2
(
y ≥ 0
)
；
(2)
C3, C1
的交点坐标为
(
1
2,1
)
，
(
1,2
)
，
C3, C2
的交点坐标为
(
−1
2,−1
)
，
(
−1,−2
)
．
【解析】
【分析】
(1)消去
t
，即可得到
C1
的普通方程；
(2)将曲线
C2, C3
的方程化成普通方程，联立求解即解出．
(1)
因为
x=2+t
6
，
y=❑
√
t
，所以
x=2+y2
6
，即
C1
的普通方程为
y2=6x−2
(
y ≥ 0
)
．
(2)
因为
x=−2+s
6, y=−❑
√
s
，所以
6x=−2−y2
，即
C2
的普通方程为
y2=−6x−2
(
y ≤ 0
)
，
由
2 cos θ−sin θ=0⇒2ρcos θ−ρsin θ=0
，即
C3
的普通方程为
2x−y=0
．
联立
¿
，解得：
¿
或
¿
，即交点坐标为
(
1
2,1
)
，
(
1,2
)
；
联立
¿
，解得：
¿
或
¿
，即交点坐标为
(
−1
2,−1
)
，
(
−1,−2
)
．
2．【2022 年全国乙卷】在直角坐标系
xOy
中，曲线 C的参数方程为
¿
，（t为参数），以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为
ρsin
(
θ+π
3
)
+m=0
．
(1)写出 l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求 m的取值范围．
【答案】(1)
❑
√
3x+y+2m=0
(2)
−19
12 ≤ m≤ 5
2
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立 l与C的方程，采用换元法处理，根据新设 a的取值范围求解 m的范围即可.
(1)
因为 l：
ρsin
(
θ+π
3
)
+m=0
，所以
1
2ρ⋅sin θ+❑
√
3
2ρ⋅cos θ+m=0
，
又因为
ρ⋅sin θ=y , ρ ⋅cos θ=x
，所以化简为
1
2y+❑
√
3
2x+m=0
，
整理得 l的直角坐标方程：
❑
√
3x+y+2m=0
(2)
联立 l与C的方程，即将
x=❑
√
3 cos 2t
，
y=2sin t
代入
中，可得
3 cos 2 t+2 sin t+2m=0
，
所以
3(1−2 sin2t)+2 sin t+2m=0
，
化简为
−6 sin2t+2sin t+3+2m=0
，
要使 l与C有公共点，则
2m=6 sin2t−2 sin t−3
有解，
令
sin t=a
，则
a∈
[
−1,1
]
，令
f(a)=6a2−2a−3
，
(−1≤ a ≤ 1)
，
对称轴为
a=1
6
，开口向上，
所以
f(a)max=f(−1)=6+2−3=5
，
f(a)min=f(1
6)= 1
6−2
6−3=−19
6
，
所以
−19
6≤2m≤5
m的取值范围为
−19
12 ≤ m≤ 5
2
.
3．【2021 年甲卷文科】在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 ．
（1）将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点 P满足 ，写出 Р的轨
迹 的参数方程，并判断 C与 是否有公共点．
【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （
为参数），C与 没有公共点.
【解析】
【分析】
（1）将曲线 C的极坐标方程化为 ，将 代入可得；
（2）方法一：设 ，设 ，根据向量关系即可求得 P的轨迹
的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】
（1）由曲线 C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线 C的直角坐标方程为 ；
（2）
[方法一]【最优解】
设 ，设
，
，
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