《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题19 计数原理（理科专用）（教师版）

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专题 19 计数原理（理科专用）
1．【2022 年新高考 2卷】有甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不
站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（5555555）
A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有
3!
种
排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插
入，有 2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2种排列方式，故安排这 5名同
学共有：
3!×2×2=24
种不同的排列方式，
故选：B
2．【2021 年乙卷理科】将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰
壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1个项目，每个项目至少分配 1名志愿者，则
不同的分配方案共有（5555555）
A．60 种B．120 种C．240 种D．480 种
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定有一个项目中分配 2名志愿者，其余各项目中分配 1名志愿者，然后利用组合，排
列，乘法原理求得.
【详解】
根据题意，有一个项目中分配 2名志愿者，其余各项目中分配 1名志愿者，可以先从 5名
志愿者中任选 2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四
个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种，
根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先
选后排思想求解.
3．【2020 年新课标 1卷理科】 的展开式中 x3y3的系数为
（5555555）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与
展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为 3，1即可求得 的系
数，问题得解.
【详解】
展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能
力，属于中档题.
4．【2020 年新课标 2卷文科】如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12.设
1≤i<j<k≤12．若 k–j=3 且j–i=4，则称 ai，aj，ak 为原位大三和弦；若 k–j=4 且j–i=3，则称
ai，aj，ak 为原位小三和弦．用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数
之和为（5555555）
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足
从 开始，利用列举法即可解出．
【详解】
根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；
．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；
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