《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题16 概率与统计（解答题）（文科专用）（教师版）

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专题 16 概率与统计（解答题）（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由 A和B两家公司运营，为了解这
两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联
表：
准点班次数 未准点班次数
A240 20
B210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有 90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：
K2=n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，
P
(
K2⩾k
)
0.100 0.050 0.010
k
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为
12
13
，
7
8
(2)有
【解析】
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算
K2
，再利用临界值表比较即可得结论.
(1)
根据表中数据，A共有班次 260 次，准点班次有 240 次，
设A家公司长途客车准点事件为 M，
则
P(M)= 240
260 =12
13
；
B共有班次 240 次，准点班次有 210 次，
设B家公司长途客车准点事件为 N，
则
P(N)= 210
240 =7
8
.
A家公司长途客车准点的概率为
12
13
；
B家公司长途客车准点的概率为
7
8
.
(2)
列联表
准点班次数 未准点班次数 合计
A240 20 260
B210 30 240
合计 450 50 500
K2=n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=
500×(240 ×30−210 ×20)2
260 ×240 ×450 ×50 ≈3.205>2.706
，
根据临界值表可知，有
90 %
的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公
司有关.
2．【2022 年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计
一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单
位：
m2
）和材积量（单位：
m3
），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积
xi
0.04 0.06
0.0
4
0.08 0.08
0.0
5
0.05 0.07 0.07
0.0
6
0.6
材积量
yi
0.25 0.40
0.2
2
0.54 0.51
0.3
4
0.36 0.46 0.42
0.4
0
3.9
并计算得
∑
i =1
10
xi
2=0.038 ,∑
i=1
10
yi
2=1.6158 ,∑
i=1
10
xiyi=0.2474
．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总
和为
186m2
．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区
这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数
r=
∑
i=1
n
(xi−x)( yi−y)
❑
√
∑
i=1
n
(xi−x)2∑
i=1
n
(yi−y)2
,❑
√
1.896 ≈1.377
．
【答案】(1)
0.06 m2
；
0.39 m3
(2)
0.97
(3)
1209 m3
【解析】
【分析】
（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种
树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的
总材积量的估计值．
(1)
样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值
x=0.6
10 =0.06
样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值
y=3.9
10 =0.39
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为
0.06 m2
，
平均一棵的材积量为
0.39 m3
(2)
r=
∑
i=1
10
(xi−x)( yi−y)
❑
√
∑
i=1
10
❑(xi−x)2∑
i=1
10
❑(yi−y)2
=
∑
i=1
10
❑xiyi−10 x y
❑
√
(
∑
i=1
10
❑xi
2−10 x2
)(
∑
i=1
10
❑yi
2−10 y2
)
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