《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题16 概率与统计（解答题）（理科专用）（学生版）

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专题 16 概率与统计（解答题）（理科专用）

1．【2022 年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜

方得 10 分，负方得 0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已

知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求 X的分布列与期望．

2．【2022 年新高考 1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习

惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100

例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到

如下数据：

不够良

好

良好

病例组 40 60

对照组 10 90

(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件

“选到的人患有该疾病”．

P(B∨A)

与

P(B∨A)

的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病

风险程度的一项度量指标，记该指标为 R．

（ⅰ）证明：

R=P(A∨B)

P(A∨B)⋅P(A∨B)

P(A∨B)

；

（ⅱ）利用该调查数据，给出

P(A∨B), P(A∨B)

的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 R

的估计值．

附

K2=n(ad −bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，

(

K2≥ k

)

0.050 0.010 0.001

k3.841 6.635 10.828

3．【2022 年新高考 2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的

年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间

的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为

0.1 %

，该地区年龄位于区间

的人口占该地区总人口的

16 %

.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间

，求此人患这种疾病的概率．（以样

本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到

0.0001）.

4．【2021 年新高考 1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B两类问题，每位参

加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同

学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，

该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0分；B类问题中的每个

问题回答正确得 80 分，否则得 0分，已知小明能正确回答 A类问题的概率为 0.8，能正确

回答 B类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答 A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

5．【2021 年新高考 2卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种

微生物为第 0代，经过一次繁殖后为第 1代，再经过一次繁殖后为第 2代……，该微生物

每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X表示 1个微生物个体繁殖下一代的

个数，．

（1）已知，求；

（2）设 p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于 x的方程：

的一个最小正实根，求证：当时，，当时，

；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

6．【2020 年新课标 1卷理科】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累

计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮

空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两

人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，

丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

7．【2020 年新课标 2卷理科】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物

数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这

些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，

…，20)，其中xi 和yi 分别表示第 i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的

数量，并计算得，，，，

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生

动物数量的平均数乘以地块数）；

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