《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题16 概率与统计（解答题）（理科专用）（教师版）

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专题 16 概率与统计（解答题）（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜
方得 10 分，负方得 0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已
知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求 X的分布列与期望．
【答案】(1)
0.6
；
(2)分布列见解析，
E
(
X
)
=13
.
【解析】
【分析】
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为
A , B , C
，再根据甲获得冠军则至少获胜两个
项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，
X
的可能取值为
0,10,20,30
，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即
可求出期望．
(1)
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为
A , B , C
，所以甲学校获得冠军的概率为
P=P
(
ABC
)
+P
(
A BC
)
+P
(
A B C
)
+P
(
AB C
)
¿0.16+0.16+0.24+0.04=0.6
．
(2)
依题可知，
X
的可能取值为
0,10,20,30
，所以，
P
(
X=0
)
=0.5 ×0.4 ×0.8=0.16
,
P
(
X=10
)
=0.5 ×0.4 ×0.8+0.5 ×0.6 ×0.8+0.5 ×0.4 ×0.2=0.44
，
P
(
X=20
)
=0.5 ×0.6×0.8+0.5 ×0.4 ×0.2+0.5 ×0.6×0.2=0.34
，
P
(
X=30
)
=0.5 ×0.6 ×0.2=0.06
.
即
X
的分布列为
X
0 10 20 30
P
0.16 0.44 0.34 0.06
期望
E
(
X
)
=0×0.16+10 ×0.44+20 ×0.34+30 ×0.06=13
.
2．【2022 年新高考 1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习
惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100
例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到
如下数据：
不够良
好
良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件
“选到的人患有该疾病”．
P(B∨A)
P(B∨A)
与
P(B∨A)
P(B∨A)
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病
风险程度的一项度量指标，记该指标为 R．
（ⅰ）证明：
R=P(A∨B)
P(A∨B)⋅P(A∨B)
P(A∨B)
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
P(A∨B), P(A∨B)
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 R
的估计值．
附
K2=n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，
P
(
K2≥ k
)
0.050 0.010 0.001
k3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)
R=6
；
【解析】
【分析】
(1)由所给数据结合公式求出
K2
的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有 99%的把握
认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式
即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求
R
.
(1)
由已知
K2=n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(40 ×90−60 ×10)2
50 ×150 ×100 ×100 =24
，
又
P(K2≥6.635)= 0.01
，
24>6.635
，
所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)
(i)因为
R=P(B∨A)
P(B∨A)⋅P(B∨A)
P(B∨A)=P(AB)
P(A)⋅P(A)
P(A B)⋅P(A B)
P(A)⋅P(A)
P(A B)
，
所以
R=P(AB)
P(B)⋅P(B)
P(A B)⋅P(A B)
P(B)⋅P(B)
P(A B)
所以
R=P(A∨B)
P(A∨B)⋅P(A∨B)
P(A∨B)
，
(ii)
由已知
P(A∨B)= 40
100
，
P(A∨B)= 10
100
，
又
P(A∨B)= 60
100
，
P(A∨B)= 90
100
，
所以
R=P(A∨B)
P(A∨B)⋅P(A∨B)
P(A∨B)=6
3．【2022 年新高考 2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的
年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
¿
的概率；
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