《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题13 数列（解答题）（教师版）

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专题 13 数列（解答题）
1．【2022 年全国甲卷】记
Sn
为数列
{
an
}
的前 n项和．已知
2Sn
n+n=2an+1
．
(1)证明：
{
an
}
是等差数列；
(2)若
a4, a7, a9
成等比数列，求
Sn
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
−78
．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得
2Sn+n2=2n an+n
，根据
，作差即可得到
an−an−1=1
，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出
a1
，即可得到
{
an
}
的通项公式与前
n
项和，再根据二次
函数的性质计算可得．
(1)
解：因为
2Sn
n+n=2an+1
，即
2Sn+n2=2n an+n
①，
当
n ≥ 2
时，
2Sn−1+
(
n−1
)
2=2
(
n−1
)
an−1+
(
n−1
)
②，
①
−¿
② 得，
2Sn+n2−2Sn−1−
(
n−1
)
2=2n an+n−2
(
n−1
)
an−1−
(
n−1
)
，
即
2an+2n−1=2n an−2
(
n−1
)
an−1+1
，
即
2
(
n−1
)
an−2
(
n−1
)
an−1=2
(
n−1
)
，所以
an−an−1=1
，
n ≥ 2
且
n∈N*
，
所以
{
an
}
是以
1
为公差的等差数列．
(2)
解：由（1）可得
a4=a1+3
，
a7=a1+6
，
a9=a1+8
，
又
a4
，
a7
，
a9
成等比数列，所以
a7❑2=a4⋅a9
，
即
(
a1+6
)
2=
(
a1+3
)
⋅
(
a1+8
)
，解得
a1=−12
，
所以
an=n−13
，所以
Sn=−12n+n
(
n−1
)
2=1
2n2−25
2n=1
2
(
n−25
2
)
2
−625
8
，
所以，当
n=12
或
n=13
时
(
Sn
)
min=−78
．
2．【2022 年新高考 1卷】记
Sn
为数列
{
an
}
的前 n项和，已知
a1=1,
{
Sn
an
}
是公差为
1
3
的等差
数列．
(1)求
{
an
}
的通项公式；
(2)证明：
1
a1
+1
a2
+⋯+1
an
<2
．
【答案】(1)
an=n
(
n+1
)
2
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得
Sn
an
=1+1
3
(
n−1
)
=n+2
3
，得到
Sn=
(
n+2
)
an
3
，利用和
与项的关系得到当
n ≥ 2
时，
an=Sn−Sn−1=
(
n+2
)
an
3−
(
n+1
)
an−1
3
,进而得：
an
an−1
=n+1
n−1
，
利用累乘法求得
an=n
(
n+1
)
2
，检验对于
n=1
也成立，得到
{
an
}
的通项公式
an=n
(
n+1
)
2
；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到
1
a1
+1
a2
+⋯+1
an
=2
(
1−1
n+1
)
，进而证得.
(1)
∵
a1=1
，∴
S1=a1=1
,∴
S1
a1
=1
,
又∵
{
Sn
an
}
是公差为
1
3
的等差数列，
∴
Sn
an
=1+1
3
(
n−1
)
=n+2
3
,∴
Sn=
(
n+2
)
an
3
,
∴当
n ≥ 2
时，
Sn−1=
(
n+1
)
an−1
3
，
∴
an=Sn−Sn−1=
(
n+2
)
an
3−
(
n+1
)
an−1
3
,
整理得：
(
n−1
)
an=
(
n+1
)
an−1
,
即
an
an−1
=n+1
n−1
,
∴
an=a1×a2
a1
×a3
a2
× …× an−1
an−2
×an
an−1
¿1×3
2×4
3× …× n
n−2×n+1
n−1=n
(
n+1
)
2
，
显然对于
n=1
也成立，
∴
{
an
}
的通项公式
an=n
(
n+1
)
2
；
(2)
1
an
=2
n
(
n+1
)
=2
(
1
n−1
n+1
)
,
∴
1
a1
+1
a2
+⋯+1
an
¿2
[
(
1−1
2
)
+
(
1
2−1
3
)
+⋯
(
1
n−1
n+1
)
]
=2
(
1−1
n+1
)
<2
3．【2022 年新高考 2卷】已知
{
an
}
为等差数列，
{
bn
}
是公比为 2的等比数列，且
a2−b2=a3−b3=b4−a4
．
(1)证明：
a1=b1
；
(2)求集合
{
k
|
bk=am+a1,1≤m≤500
}
中元素个数．
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