《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题11 平面向量（教师版）

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专题 11 平面向量
1．【2022 年全国乙卷】已知向量
⃑
a=(2,1)，
⃑
b=(−2,4)
，则
|
⃑
a−
⃑
b
|
（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得
⃑
a−
⃑
b
，然后求得
|
⃑
a−
⃑
b
|
.
【详解】
因为
⃑
a−
⃑
b=
(
2,1
)
−
(
−2,4
)
=
(
4,−3
)
，所以
|
⃑
a−
⃑
b
|
=❑
√
42+
(
−3
)
2=5
.
故选：D
2．【2022 年全国乙卷】已知向量
⃑
a ,
⃑
b
满足
，则
⃑
a⋅
⃑
b=¿
（）
A．
−2
B．
−1
C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵
¿
⃗
a−2
⃗
b¿2=¿
⃗
a¿2−4
⃗
a⋅
⃗
b+4
|
⃗
b
|
2
，
又∵
¿
⃗
a∨¿1,∨
⃗
b∨¿❑
√
3,∨
⃗
a−2
⃗
b∨¿3,
∴9
¿1−4
⃗
a⋅
⃗
b+4×3=13−4
⃗
a⋅
⃗
b
，
∴
⃗
a⋅
⃗
b=1
故选：C.
3．【2022 年新高考 1卷】在
△ABC
中，点 D在边 AB 上，
BD=2DA
．记
⃑
CA=
⃗
m，
⃑
CD=
⃗
n
，则
⃑
CB =¿
（）
A．
3
⃗
m−2
⃗
n
B．
−2
⃗
m+3
⃗
n
C．
3
⃗
m+2
⃗
n
D．
2
⃗
m+3
⃗
n
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点 D在边 AB 上，
BD=2DA
，所以
⃑
BD=2
⃑
DA
，即
⃑
CD−
⃑
CB=2
(
⃑
CA−
⃑
CD
)
，
所以
⃑
CB=¿
3
⃑
CD−2
⃑
CA=3
⃑
n−2
⃑
m
¿−2
⃗
m+3
⃗
n
．
故选：B．
4．【2022 年新高考 2卷】已知向量
⃑
a=(3,4),
⃑
b=(1,0),
⃑
c=
⃑
a+t
⃑
b
，若
¿
⃑
a ,
⃑
c≥¿
⃑
b ,
⃑
c>¿
，则
t=¿
（）
A．
−6
B．
−5
C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解：
⃗
c=
(
3+t , 4
)
,
cos
⟨
⃗
a ,
⃗
c
⟩
=cos
⟨
b ,
⃗
c
⟩
,即
9+3t+16
5
|
⃗
c
|
=3+t
|
⃗
c
|
,解得
t=5
,
故选：C
5．【2020 年新课标 2卷文科】已知单位向量 ， 的夹角为 60°，则在下列向量中，与
垂直的是（）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判
断即可.
【详解】
由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平
面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6．【2020 年新课标 3卷理科】已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】
， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的
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