《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题09 三角函数（教师版）

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专题 09 三角函数
1．【2022 年全国甲卷】将函数
f(x)=sin
(
ωx+π
3
)
(ω>0)
的图像向左平移
π
2
个单位长度后
得到曲线 C，若 C关于 y轴对称，则
ω
的最小值是（.......）
A．
1
6
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
【答案】C
【解析】
【分析】
先由平移求出曲线
的解析式，再结合对称性得
ωπ
2+π
3=π
2+kπ , k ∈Z
，即可求出
ω
的最
小值.
【详解】
由题意知：曲线
C
为
y=sin
[
ω
(
x+π
2
)
+π
3
]
=sin(ωx+ωπ
2+π
3)
，又
C
关于
y
轴对称，则
ωπ
2+π
3=π
2+kπ , k ∈Z
，
解得
ω=1
3+2k , k ∈Z
，又
ω>0
，故当
k=0
时，
ω
的最小值为
1
3
.
故选：C.
2．【2022 年全国甲卷】设函数
f(x)=sin
(
ωx+π
3
)
在区间
(0,π)
恰有三个极值点、两个零
点，则
ω
的取值范围是（.......）
A．
[
5
3,13
6
)
B．
[
5
3,19
6
)
C．
(
13
6,8
3
]
D．
(
13
6,19
6
]
【答案】C
【解析】
【分析】
由
x
的取值范围得到
ωx+π
3
的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得
ω>0
，因为
x∈
(
0, π
)
，所以
ωx+π
3
∈
(
π
3, ωπ +π
3
)
，
要使函数在区间
(
0, π
)
恰有三个极值点、两个零点，又
y=sin x
，
x∈
(
π
3,3π
)
的图象如下
所示：
则
5π
2<ωπ+π
3≤3π
，解得
13
6<ω≤ 8
3
，即
ω∈
(
13
6,8
3
]
．
故选：C．
3．【2022 年全国乙卷】函数
f
(
x
)
=cos x+
(
x+1
)
sin x+1
在区间
[
0,2 π
]
的最小值、最大值分
别为（.......）
A．
−π
2，π
2
B．
−3π
2，π
2
C．
−π
2，π
2+2
D．
−3π
2，π
2+2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得
f
(
x
)
的单调区间，从而判断出
f
(
x
)
在区间
[
0,2 π
]
上的最小值和最大值.
【详解】
f'
(
x
)
=−sin x+sin x+
(
x+1
)
cos x=
(
x+1
)
cos x
，
所以
f
(
x
)
在区间
(
0,π
2
)
和
(
3π
2,2 π
)
上
f'
(
x
)
>0
，即
f
(
x
)
单调递增；
在区间
(
π
2,3π
2
)
上
f'
(
x
)
<0
，即
f
(
x
)
单调递减，
又
f
(
0
)
=f
(
2 π
)
=2
，
f
(
π
2
)
=π
2+2
，
f
(
3π
2
)
=−
(
3π
2+1
)
+1=−3π
2
，
所以
f
(
x
)
在区间
[
0,2 π
]
上的最小值为
−3π
2
，最大值为
π
2+2
.
故选：D
4．【2022 年新高考 1卷】记函数
f(x)=sin(ωx+π
4)+b(ω>0)
的最小正周期为 T．若
2π
3<T<π
，且
y=f(x)
的图象关于点
(3π
2,2)
中心对称，则
f(π
2)=¿
（.......）
A．1 B．
3
2
C．
5
2
D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期 T满足
2π
3<T<π
，得
2π
3<2π
ω<π
，解得
2<ω<3
，
又因为函数图象关于点
(3π
2,2)
对称，所以
3π
2ω+π
4=kπ , k ∈Z
，且
b=2
，
所以
ω=−1
6+2
3k , k ∈Z
，所以
ω=5
2
，
f(x)=sin(5
2x+π
4)+2
，
所以
f(π
2)=sin(5
4π+π
4)+2=1
.
故选：A
5．【2022 年新高考 2卷】若
sin(α+β)+cos(α+β)=2❑
√
2 cos
(
α+π
4
)
sin β
，则
（.......）
A．
tan(α−β)=1
B．
tan(α+β)=1
C．
tan(α−β)=−1
D．
tan(α+β)=−1
【答案】C
【解析】
【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
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