《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题08 平面解析几何（解答题）（学生版）

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专题 08 平面解析几何（解答题）
1．【2022 年全国甲卷】设抛物线
C:y2=2px (p>0)
的焦点为 F，点
D
(
p ,0
)
，过 F的直线
交C于M，N两点．当直线 MD 垂直于 x轴时，
|
MF
|
=3
．
(1)求C的方程；
(2)设直线
MD , ND
与C的另一个交点分别为 A，B，记直线
MN , AB
的倾斜角分别为
α , β
．
当
α−β
取得最大值时，求直线 AB 的方程．
2．【2022 年全国乙卷】已知椭圆 E的中心为坐标原点，对称轴为 x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点
P
(
1,−2
)
的直线交 E于M，N两点，过 M且平行于 x轴的直线与线段 AB 交于点
T，点 H满足
⃑
MT =
⃑
TH
．证明：直线 HN 过定点．
3．【2022 年新高考 1卷】已知点
A(2,1)
在双曲线
C:x2
a2−y2
a2−1=1(a>1)
上，直线 l交C
于P，Q两点，直线
AP, AQ
的斜率之和为 0．
(1)求l的斜率；
(2)若
tan∠PAQ=2❑
√
2
，求
△PAQ
的面积．
4．【2022 年新高考 2卷】已知双曲线
C:x2
a2−y2
b2=1(a>0,b >0)
的右焦点为
F(2,0)
，渐
近线方程为
y=±❑
√
3x
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B两点，点
P
(
x1, y1
)
,Q
(
x2, y2
)
在C上，且
x1>x2>0, y1>0
．过 P且斜率为
−❑
√
3
的直线与过 Q且斜率为
❑
√
3
的直线交于点 M.从下面①
②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在
AB
上；②
PQ ∥AB
；③
¿MA∨¿∨MB∨¿
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5．【2021 年甲卷文科】抛物线 C的顶点为坐标原点 O．焦点在 x轴上，直线 l： 交 C
于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与 l相切．
（1）求 C， 的方程；
（2）设 是 C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与
的位置关系，并说明理由．
6．【2021 年乙卷文科】已知抛物线 的焦点 F到准线的距离为 2．
（1）求 C的方程;
（2）已知 O为坐标原点，点 P在C上，点 Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
7．【2021 年乙卷理科】已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
8．【2021 年新高考 1卷】在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
9．【2021 年新高考 2卷】已知椭圆 C的方程为 ，右焦点为 ，
且离心率为 ．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设 M，N是椭圆 C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：
M，N，F三点共线的充要条件是 ．
10．【2020 年新课标 1卷理科】已知 A、B分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶
点，G为E的上顶点， ，P为直线 x=6 上的动点，PA 与E的另一交点为 C，PB
与E的另一交点为 D
．
（1）求 E的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
11．【2020 年新课标 2卷理科】已知椭圆 C1：(a>b>0)的右焦点 F与抛物线 C2
的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合.过F且与 x轴垂直的直线交 C1于A，B两点，交 C2
于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求 C1的离心率；
（2）设 M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与C2的标准方程.
12．【2020 年新课标 2卷文科】已知椭圆 C1：(a>b>0)的右焦点 F与抛物线 C2
的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合．过 F且与 x轴垂直的直线交 C1于A，B两点，交
C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求 C1的离心率；
（2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与C2的标准方程．
13．【2020 年新课标 3卷理科】已知椭圆 的离心率为 ， ，
分别为 的左、右顶点．
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